Solo aplicará el resultado de un penal completo. Solo 90 minutos más tiempo de descuento. Cualquier apuesta que incluya goles de tiro libre, estos deben ser anotados directamente de un tiro libre.

Los penales no cuentan. Solo contarán las tarjetas mostradas mientras el jugador está activo en el campo de juego. Cualquier tarjeta mostrada luego del pitazo final no contará. Por ejemplo, Sin goles, Equipo A exactamente 1 gol, Equipo B exactamente 3 goles, etc.

Incluye goles en contra. Margen de triunfo Apuestas en: Por cuánto margen el equipo seleccionado ganará el partido en los 90 minutos más tiempo de descuento.

Número de puntos de amonestación por equipo Apuestas en: si el número total de puntos por amonestación para tu s equipo s seleccionado s está por debajo o por encima del total señalado durante los 90 minutos más tiempo de descuento.

Número de córners por equipo Apuestas en: si el número total de córners de tu equipo seleccionado estará por encima o debajo de los números señalados en los 90 minutos más tiempo de descuento.

Esto aplica a cualquier penal cobrado que no terminará en gol luego de la ejecución. Por ejemplo, si elegiste que un jugador específico anotará el primer gol del partido, y el primer gol fue un autogol, entonces la apuesta se establecerá con el siguiente gol anotado.

Si tu jugador anota el 2do gol, entonces ganaste tu apuesta. Si un jugador diferente anota el siguiente gol, entonces pierdes tu apuesta.

Número de goles por jugador Apuestas en: si el jugador seleccionado anotará un gol en cualquier momento durante el transcurso del partido 90 minutos más tiempo de descuento. NB: Cualquier gol dudoso será otorgado de acuerdo a la decisión publicada por la Liga o competición en cuestión al momento de establecer la apuesta.

Apuestas en para elemento sobre la tarjeta : si un jugador seleccionado recibirá una tarjeta amarilla o roja en el transcurso del partido 90 minutos más tiempo de descuento.

Apuestas en para el elemento sobre la expulsión : si un jugador seleccionado recibirá una tarjeta roja en el transcurso del partido. FUTEBOL AMERICANO Reglas para apuestas de betbuilder - NFL En el siguiente documento se detallan las reglas bajo las que se cerraran todas las apuestas de Betbuilder simples y combinadas SMG en inglés para la NFL.

Una apuesta combinada de Betbuilder es aquella en la que se incluyen todas las selecciones que la constituyen. Si una selección no gana, se cerrará como perdedora, a menos que se especifique de manera explícita otra cosa en este documento.

Por ejemplo, serán consideradas perdedoras las selecciones en donde un equipo se marca como ganador y se da un empate en un tiempo extra, incluso cuando no se haya ofrecido el empate en la apuesta combinada.

Si un cuarto, un medio tiempo o un partido termina sin anotaciones, entonces las selecciones de anotaciones y conversión de puntos de ese período por ejemplo, Jugador que convierte una anotación en el primer tiempo serán consideradas perdedoras.

Si una o más selecciones en una apuesta quedan anuladas porque el jugador o los jugadores en cuestión no participan en el partido según la sección 4 , se anulará la totalidad de la apuesta.

Las selecciones anuladas por otros motivos en general, por abandono o postergación del partido se resolverán según las reglas que se detallan en la sección 6 de este documento.

TIEMPO EXTRA Todos los partidos de la NFL se resolverán según los resultados oficiales declarados incluyendo los tiempos extra. Por ejemplo, una selección del total de puntos del segundo tiempo incluiría los puntos que se convierten en el segundo tiempo y en el tiempo extra.

MERCADOS PARA JUGADORES ESPECÍFICOS Se considerarán activas todas las selecciones de jugadores si estos participan en al menos una jugada en cualquier momento del partido en cuestión, sin importar si la selección hace referencia a un período específico del partido o no.

Si un jugador no participa en ninguna jugada durante un partido, las selecciones específicas de ese jugador quedarán anuladas. Por ejemplo, una selección en la cual se apuesta que un determinado jugador convertirá una anotación en el segundo tiempo estará activa y, por lo tanto, será considerada como perdedora si el jugador participa en la primera jugada del partido, se lesiona y no regresa al partido, aunque no haya estado en el campo durante el segundo tiempo.

Sin embargo, si el jugador se lesiona al poco tiempo de iniciado el partido y no participa en ninguna jugada de ninguna manera, la selección y, por lo tanto, la apuesta quedaría anulada.

Las apuestas de los partidos que se posponen y comienzan pasada la semana de programación designada originalmente quedarán anuladas y se devolverá el dinero de las apuestas.

Si un partido se interrumpe y luego se retoma y se completa dentro de la misma semana de programación, se mantendrán todas las apuestas de conformidad con la sección 5.

Si un partido se interrumpe una vez comenzado y no se retoma y completa dentro de la misma semana de programación, se aplicarán las siguientes reglas: 1. Se anularán todas las apuestas combinadas que incluyan al menos una selección sobre un jugador que no haya estado en el campo en al menos una jugada.

Las reglas que se describen a continuación se aplicarán en función a esta regla y subsecuentes a ella.

Si todas las selecciones de una apuesta combinada del partido ya se han ganado, el abandono no afectará el resultado de cada una se las selecciones. La totalidad de esta apuesta será considerada ganadora. Por ejemplo, una apuesta combinada de dos series en la que se apuesta que el puntaje total será más grande que cierto número y que determinado jugador convertirá una anotación será considerada ganadora si se alcanza el puntaje necesario y si el jugador convierte una anotación antes de que se abandone el partido.

En este caso, el abandono del partido no afecta a ninguna de las dos selecciones. Esto mismo no aplicaría si la puntuación total estuviera por debajo de la necesaria cuando se abandona el partido porque esto afectaría el resultado de la apuesta.

Si se pierde cualquiera de las selecciones de una apuesta combinada y el partido se abandona, la apuesta será considerada perdedora porque, independientemente del abandono, la selección o las selecciones en cuestión han concluido irrevocablemente. Por ejemplo, si en una apuesta combinada se apuesta cuál será el primer equipo en anotar en un partido en el cual el otro equipo anota primero antes de que el partido sea abandonado, entonces esa apuesta será considerada perdedora.

En este caso, la apuesta ya está perdida y el resultado no podría haberse cambiado, independientemente que el partido haya sido abandonado luego o no. Si no hay selecciones perdedoras en una apuesta combinada y al menos una de ellas es nula al momento en que se abandona el partido, la apuesta será considerada como nula.

Esta regla aplica a los casos en los que hay una o más selecciones sin decidir al momento del abandono, las cuales podrían haberse ganado o perdido si se hubiera completado el partido como estaba programado.

Por ejemplo, una apuesta combinada en la que se espera que el puntaje total sea más grande que cierto número en un partido que luego se abandona, si el total de puntos está aún por debajo del total necesario, será considerada nula.

En este caso, el puntaje total de la selección estaba aún sin resolver y, de no haber sido por el abandono, la apuesta podría haber sido tanto perdedora como ganadora así que queda anulada.

CAMBIO DE UBICACIÓN Si se cambia la ubicación del partido a una distinta a la publicitada, se anulan todas las apuestas de ese partido. Reglas para apuestas de betbuilder - NCAAF En el siguiente documento se detallan las reglas según las cuales se cerrarán todas las apuestas Betbuilder simples y combinadas SGM en inglés para la NCAAF.

Una apuesta combinada de BetBuilder es aquella en la que se incluyen todas las selecciones que la constituyen. TIEMPO EXTRA Todos los partidos de la NCAAF se resolverán según los resultados oficiales declarados incluyendo los tiempos extra. MERCADOS PARA JUGADORES ESPECÍFICOS Se considerarán activas todas las selecciones de jugadores si estos participan en al menos en una jugada en cualquier momento del partido en cuestión, sin importar si la selección hace referencia a un período específico del partido o no.

Por ejemplo, una selección en la cual se apuesta que determinado jugador convertirá una anotación en el segundo tiempo estará activa y, por lo tanto, será considerada como perdedora si el jugador participa en la primera jugada del partido, se lesiona y no regresa al partido, aunque no haya estado en el campo durante el segundo tiempo.

Sin embargo, si el jugador se lesiona al poco tiempo de iniciado el partido y no participa en ninguna jugada de ninguna forma, la selección y, por lo tanto, la apuesta quedaría anulada.

Si se pierde cualquiera de las selecciones de una apuesta combinada y el partido se abandona, la SGM será considerada perdedora porque, independientemente del abandono, la selección o las selecciones en cuestión han concluido irrevocablemente.

Por ejemplo, una apuesta combinada en la que se apuesta que el puntaje total será más grande que cierto número en un partido que luego se abandona, si el total de puntos está aún por debajo del total necesario, será considerada nula.

Cualquier referencia a una "apuesta" dentro de este documento se refiere a todas las selecciones de esa apuesta agregada. Cualquier referencia a una "selección" se refiere a una única selección dentro de la apuesta en mención.

Una selección que no se resuelva como ganadora se cerrará como perdedora, a menos que se especifique explícitamente algo diferente en este documento. Se anulará toda la apuesta si una o más selecciones resultan anuladas por cualquier motivo por mencionar alguno, cuando un jugador en particular no participa en el partido - consulte la sección 4.

Por ejemplo, las selecciones a favor de un equipo que se apuesta como ganador, en donde el resultado es un empate después del tiempo extra o del tiempo normal si no hay prórroga , se resolverán como perdedoras, incluso cuando el empate o la prórroga no se hayan ofrecido en la apuesta de Betbuilder.

Esto no será relevante para los partidos de la NBA o de la NBL, ya que se juegan períodos repetitivos de tiempo extra hasta que un equipo gana, pero puede aplicarse a otras ligas o competiciones de baloncesto según sus propias reglas de competición.

Del mismo modo, las selecciones de "Carrera hasta X puntos" en las que ningún equipo alcance la puntuación seleccionada se resolverán como perdedoras, independientemente de si estuvo disponible o no una selección del tipo "ninguno de los equipos llega a X puntos".

TIEMPO EXTRA Todos los partidos de baloncesto se resolverán según los resultados oficiales declarados, incluyendo los tiempos extra.

Por ejemplo, una selección de puntos totales del segundo tiempo incluiría los puntos anotados tanto en el segundo tiempo como en los periodos de tiempo extra jugados. MERCADOS PARA JUGADORES ESPECÍFICOS Se considerarán activas todas las selecciones de jugadores si el jugador entra a la cancha en cualquier momento del partido y participa en el evento como jugador activo, sin importar si estas selecciones hacen referencia a un período específico del partido o no.

Si un jugador nunca entra a la cancha, las selecciones específicas de ese jugador quedarán anuladas. Por ejemplo, una selección en la que se apuesta que determinado jugador anote más de Sin embargo, si el jugador se lesiona poco antes de iniciar el juego, es removido de la alineación inicial o banca y nunca participa del juego, la selección y por ende la apuesta quedaría anulada.

Se anularán todas las apuestas realizadas en partidos que comiencen después de más de 24 horas de la hora de inicio prevista originalmente. Una vez transcurridas las 24 horas, todas las apuestas serán anuladas y se reembolsarán las sumas apostadas.

Si se abandona después del comienzo, pero antes de su punto final natural, se aplican las siguientes reglas: 1. Se anularán todas las apuestas combinadas que incluyan al menos una selección sobre un jugador que no haya entrado en la cancha como jugador activo.

Las reglas que se describen a continuación se aplicarán en función a esta regla y subsecuente a ella. Si todas las selecciones de una apuesta combinada del partido ya se han ganado, el abandono no afectará el resultado de cada una de las selecciones. La totalidad de la apuesta será considerada ganadora.

Por ejemplo, una apuesta combinada de dos series en la que se apuesta que el puntaje total será más grande que cierto número y que determinado jugador anotará Esto mismo no aplicaría si la puntuación total estuviera por debajo de la necesaria cuando se abandona el partido porque el abandono afectaría el resultado de la apuesta.

Por ejemplo, si en una apuesta combinada se apuesta cuál será el primer jugador en anotar y otro jugador anota primero antes de que el partido sea abandonado, entonces esa apuesta será considerada perdedora.

En este caso, la apuesta ya está perdida y el resultado no podría haberse cambiado, independientemente de que el partido haya sido abandonado o no. Por ejemplo, una apuesta combinada en la que se apuesta que el puntaje total será más grande que cierto número en un partido que luego se abandona, si el total de puntos aún está por debajo del total necesario, será considerada nula.

HOCKEY SOBRE HIELO Una SGM de BetBuilder es una apuesta combinada compuesta por todas las selecciones integrantes. Cualquier referencia a una "apuesta" en este documento se refiere a todo el contenido de un cupón de apuestas de BetBuilder. Cualquier referencia a una "selección" se refiere a una selección dentro de la apuesta correspondiente.

Una selección que no gane, a menos que se especifique explícitamente en este documento, se liquidará como perdida.

En cualquier apuesta, si una selección o más resultan nulas por algún motivo por ejemplo, cuando un jugador seleccionado no participe en un partido; véase sección 4 , toda la apuesta será considerada nula.

Por ejemplo, las selecciones de que un equipo vaya a ganar un partido en el que se produzca un empate después de la prórroga o del tiempo normal si no hay prórroga , incluso cuando el empate o la prórroga no se hubieran ofrecido a través de BetBuilder, se liquidarán como perdedoras.

Esto no será relevante para los partidos de la NHL cuando se celebren penaltis tras un empate en la prórroga temporada regular o se juegue una prórroga sin límite de muerte súbita playoffs , pero podría ser aplicable a otras ligas o competiciones de hockey sobre hielo según las reglas de competición de cada una.

De forma similar, las selecciones de "Carrera a X" en las que ninguno de los equipos alcance el resultado seleccionado se resolverán como perdidas, independientemente de si una selección de "ninguno de los equipos alcanza X" hubiera estado disponible como selección alternativa o no.

Si un período finaliza sin que se marque ningún gol, las selecciones de goleadores, como el primer goleador o el último en dicho período, se liquidarán como pedidas. Los goles marcados durante los penaltis no se tendrán en cuenta a efectos de la liquidación.

El gol atribuido al resultado de un equipo ganador tras los penaltis por ejemplo, un único gol en un partido que termina con un resultado de tras la prórroga y con tras los penaltis cuenta a efectos de las selecciones de resultado total del partido y del total de goles del equipo, pero no se atribuye a jugadores y no cuenta a efectos de la liquidación relativa a los mercados de marcador de los jugadores.

MERCADOS DEL TERCER PERÍODO Todas las selecciones del mercado del tercer período incluyen prórroga y los goles resultantes de los penaltis, en su caso. Por ejemplo, una selección de goles totales del tercer período incluiría tanto los goles marcados en el tercer período como el gol ganador marcado durante la prórroga o los penaltis.

MERCADOS ESPECÍFICOS DE JUGADORES Todas las selecciones de jugadores se considerarán activas si un jugador entra en la pista como jugador participante en cualquier momento del partido correspondiente, independientemente de que la selección en cuestión se refiera a un periodo específico del partido.

Si un jugador no entra en la pista durante un partido, las selecciones específicas de ese jugador serán nulas. Por ejemplo, si se selecciona que un determinado jugador marcará un gol en el tercer período, esta selección estaría activa y por lo tanto se liquidaría como perdida si ese jugador participa en los primeros dos minutos del partido, se lesiona y no vuelve al juego, independientemente de no haber estado en la pista de hielo en el tercer período.

Sin embargo, si ese jugador se lesiona poco antes de comenzar el partido y se cae del equipo inicial o del banquillo y no entra en la pista de hielo, la selección y, por tanto, la apuesta serían nulas. Se anularán todas las apuestas realizadas en partidos que comiencen más de 24 horas después de la hora de inicio prevista originalmente.

Una vez que hayan pasado las 24 horas, todas las apuestas serán nulas y se reembolsarán. Si se abandona después de comenzar pero antes de su finalización natural, se aplican las siguientes reglas: 1. Las SGM serán nulas si incluyen al menos una selección que afecte a un jugador que no haya entrado en la pista como un jugador participante.

Todas las reglas descritas a continuación se aplican sujetas a la aplicación de esta regla y posteriormente. Si todas las selecciones dentro de una SGM en el partido ya son ganadoras, sin que el hecho del abandono tenga impacto alguno en el resultado de cada selección, la SGM en su totalidad se considerará ganadora.

Por ejemplo, una SGM doble que contiene una selección de que se marcarán más de ciertos goles y de que un jugador concreto marcará un gol, en un partido en el que se han alcanzado los goles requeridos y el jugador ha marcado un gol antes de que se detuviera el encuentro, se declarará como ganadora.

En este caso, el abandono del partido no ha tenido impacto alguno en ninguna de las dos selecciones. Lo mismo no se aplicaría a una selección de que se marcarán menos de ciertos goles en casos en los que se abandone el partido mientras la puntuación total aún esté por debajo del número elegido, ya que el abandono afectaría ese resultado.

Si una única selección de una SGM ha perdido y luego se abandona un partido, la SGM será tratada como perdida, cuando independientemente del hecho del abandono, la selección o selecciones en cuestión ya habían concluido irremediablemente.

Por ejemplo, una SGM en la que una selección sea que un equipo es el primero en anotar, en un partido en el que el otro equipo anote primero y posteriormente se abandone el partido, se tratará como perdida.

En este caso, la apuesta ya se había perdido, y este resultado no se vería afectado en modo alguno por el hecho de que el juego se abandonara posteriormente o no. Si no hay selecciones perdidas dentro de una SGM y hay al menos una selección nula en el momento en que se abandone un partido, la SGM se tratará como nula.

Esta regla se aplica cuando una o más selecciones aún estén por decidir en el momento del abandono y pudieran haber ganado o perdido si el juego se hubiera completado según lo previsto.

Por ejemplo, una SGM que incluya una selección de goles totales por encima de cierto número, en un partido abandonado cuando el total de goles esté todavía por debajo de la cantidad requerida, se tratará como nula.

En este caso, la selección de goles totales aún estaba por decidir y podría haber resultado ganadora o perdida si no hubiera sido por el abandono, por lo que la apuesta será declarada nula.

CAMBIOS DE SEDE Si se cambia la ubicación anunciada para un partido, todas las apuestas de ese partido se considerarán nulas. Las descalificaciones o cualquier otro cambio en el resultado del Evento después de dicha hora son irrelevantes a efectos de apuestas si ya existiese un resultado oficial.

Betsafe intentará cerrar los eventos, es decir, cerrar los mercados, en cuanto finalicen los eventos, pero no ofrecerá garantías de ningún tipo por aplazamientos máximos. Si el resultado de una apuesta se determina antes de que finalice el evento, esta se establecerá según nuestras reglas, aunque el evento se suspenda o la duración del evento se haya acortado por cualquier motivo.

Asegúrese de comprobar su boleto antes de confirmar la apuesta. Desgraciadamente, no procesamos solicitudes para anular apuestas realizadas por error. En caso de contradicciones entre las reglas y reglamentos y otras partes del Acuerdo con los clientes, se aplicará el siguiente orden de prioridad el 1 prevalece sobre el 2 y el 3, etc Reglas y reglamentos 3.

Términos y condiciones. En caso de que un evento de apuesta no prosiga, la puntuación actual del momento cuenta, si se cumplen los requisitos mínimos del deporte específico o si existe un resultado oficial dentro de las 36 horas del plazo.

Todos los demás mercados de ese evento se valoran a 1. Todas las apuestas relacionadas con eventos cancelados serán nulas, y las apuestas se devolverán a las partes implicadas. Las apuestas múltiples se calcularán de nuevo excluyendo el evento que se ha abandonado.

Sólo si el lugar de celebración se cambia al lugar del equipo local, se considerarán nulas todas las apuestas relacionadas.

Si se cambia el evento a otro lugar, todas las apuestas relacionadas serán aún válidas. Esta regla sólo será de aplicación en los eventos en el que las partes tengan un lugar de celebración local.

En caso de que se declaren ganadores dos o más participantes en un evento absoluto outright , las probabilidades de los participantes en el evento absoluto se dividirán por el número de participantes implicados en el empate.

En el caso de que un participante no asista a un determinado evento según lo programado, todas las apuestas relacionadas seguirán teniendo validez a no ser que el evento se cancele.

Ejemplo: si Usain Bolt no se presenta a los Campeonatos Mundiales, las apuestas relacionadas con Usain Bolt como ganador, etc. Se declararán nulas las apuestas para competiciones o eventos que se cancelen o pospongan y que no hayan comenzado en un plazo de 12 horas desde la hora de inicio oficial programada originariamente.

Betsafe se reserva el derecho de anular las apuestas que se tomen con un precio incorrecto debido a una cobertura de un evento "en directo" con retraso, y cuando un equipo haya ganado una ventaja significativa. También nos reservamos el derecho de suspender las apuestas durante un evento por transmisión fallida o por otros problemas técnicos relacionados o si sospechamos que puede haber fraude.

El plazo para colocar apuestas puede variar entre los distintos eventos. No toleramos incidentes deliberados y repetidos de apuestas tardías, eso se considerará fraude y lo trataremos de manera consecuente.

El marcador mostrado y la información adicional p. tiempo anotador en el sitio solo es referencial. No garantizamos la exactitud de esta información. Aceptar cambios de cuotas para apuestas en directo Como cliente tienes la posibilidad de aceptar cambios de cuotas en apuestas en directo, lo que facilitará tus apuestas en directo.

Esta opción resulta especialmente útil para apostar en más de un evento al mismo tiempo. Si continúas con el proceso, se considera que aceptas cambios de cuotas en tu hoja de apuestas y registraremos tu consentimiento.

Puedes consultar el estado actual en tu hoja de apuestas así que asegúrate de comprobarlo antes de enviar el cupón. Para aceptar todos los cambios de cuotas desde que se envía el cupón hasta el momento en que se confirma en una o más selecciones de tu hoja de apuestas, selecciona la casilla "Aceptar cualquier cuota" en la hoja de apuestas.

Este paso puede dar como resultado la aceptación de cuotas más bajas o más altas. Esta configuración permanecerá activa en las siguientes hojas de apuestas en directo hasta que desactives la casilla de nuevo o hasta que borres los ajustes guardados previamente.

Como cliente, tienes la posibilidad de seleccionar el formato de cuotas que prefieras entre cuotas decimales, fraccionales y americanas.

Una vez guardado el formato al iniciar sesión, se guardará también en la configuración de tu navegador. Es importante señalar que todos los cálculos realizados en relación con los pagos de un talón de apuestas emplean el formato decimal.

El formato decimal será siempre equivalente o superior a los demás formatos disponibles por selección, lo que se traduce en un pago igual o mayor. No se aplicarán reembolsos para ausentes o ganadores que no estén incluidos en la lista.

No se aplicarán las "reglas del empate" para las apuestas a la "posición" y en las apuestas ganadoras se pagarán las cuotas completas indicadas, independientemente de si hay más participantes ganadores que posiciones como consecuencia de los empates.

En caso de que haya más de un ganador en apuestas al "ganador" o al "grupo de ganadores", se aplicarán las "reglas del empate". Asegúrese de conocer todas las reglas y reglamentos que son de aplicación para todas las actividades de apuestas de Betsafe ver arriba.

En Descenso y Súper G, ambos esquiadores deben dejar la puerta de salida para que una apuesta uno contra uno tenga validez. Si ambos esquiadores no finalizan la prueba, la apuesta se anulará.

No se aplicarán reembolsos para ausentes. Si el evento tiene lugar en otra ubicación, la apuesta se anulará.

Todas las apuestas se establecerán según la federación oficial de reglas FIS, IBU u otra federación oficial. Las descalificaciones posteriores no afectarán a las apuestas. Por ejemplo, si un partido que inicialmente estaba programado para el domingo de la semana 10, se cambia al lunes-miércoles y sigue formando parte del programa de la semana 10, las apuestas seguirán teniendo validez.

Si el partido se pospone más allá del miércoles, formará parte del programa de otra semana y las apuestas se anularán. Todos los partidos incluyen tiempo adicional a no ser que se indique específicamente lo contrario.

Deben haberse jugado al menos 55 minutos del partido para que las apuestas se consideren válidas. De no ser el caso, todas las apuestas se considerarán nulas y las cuotas se establecerán en 1.

Si un partido termina en empate, las apuestas al ganador se considerarán nulas y las cuotas se fijarán en 1. Los ganadores de la división NFL se establecerán según los equipos considerados ganadores de la división de acuerdo con el sitio web NFL.

com al final de la temporada regular de la NFL. Qué equipo marcará 3 veces sin que el otro equipo marque: predecir qué equipo logrará 3 jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de seguridad y un touchdown se consideran jugadas anotadoras. Los PAT puntos anotados tras el touchdown y las conversiones de 2 puntos no se consideran jugadas anotadoras, ya que son una continuación del touchdown.

Especiales de jugadores En el caso de todas las apuestas especiales de jugadores, todos los jugadores implicados deben participar en el partido para que las apuestas sigan teniendo validez. El primer y el último jugador que anoten son la excepción por la que no se aplicarán reembolsos para ausentes.

Partidos Fantasy En los partidos Fantasy dos equipos compiten sólo virtualmente. El ganador de este partido es el equipo que puntúe más goles en el día actual del partido frente a un oponente real incluyendo la prórroga.

Atención: Sólo cuentan los goles, la victoria o la derrota son irrelevantes. Ejemplo: Partido Fantasy: Atlanta — San Francisco; Partidos Reales: Atlanta — New York Jets: 24 — 13 y San Francisco — Baltimore: 30 — El resultado del partido Fantasy Atlanta — San Francisco es 24 — 30; San Francisco es la selección ganadora.

Especiales del Draft de la NFL Las posiciones de los jugadores para el Draft de la NFL se resolverán según la posición que se anuncie en la propia reunión del Draft.

Se aplican las reglas del empate. En las apuestas "Uno contra uno", el participante que logre la mejor posición final gana. Si un participante continúa compitiendo cuando el otro ha sido eliminado, ganará el que avance más en la competición.

Si ambos participantes son eliminados en el mismo nivel, por ejemplo, si ambos participantes son eliminados en los cuartos de final, las apuestas se considerarán nulas y las cuotas se establecerán en 1. Si un participante no se presenta a la competición, todas las apuestas uno contra uno o especiales en las que esté implicado el participante se anularán.

Sin embargo, las apuestas al ganador seguirán teniendo validez. Si un determinado evento se suspende o pospone, las apuestas siguen teniendo validez siempre que el evento finalice en el mismo lugar en el plazo de 12 horas.

Ganador del partido incluyendo partidas internas Se debe cumplir un partido completo para que las apuestas sean válidas. Si no concluye 1 partido como mínimo, se anularán todas las apuestas. Apuestas de hándicap incluyendo partidas internas Si cualquiera de los participantes se retira, las apuestas de hándicaps serán consideradas nulas a menos que no haya manera de que el partido hubiese llegado a su conclusión natural sin determinar incondicionalmente el resultado del mismo.

Si un jugador indicado no participa en un partido individual o de dobles, las apuestas realizadas en estas competiciones quedarán anuladas. Sin embargo, todas las apuestas realizadas en el resultado de una competición por equipos no se verán afectadas por los cambios o sustituciones de jugadores en las alineaciones de los equipos.

Todas las apuestas se mantienen en los resultados de una competición por equipos, incluso en el caso de que el resultado de uno o más partidos individuales haya sido decidido por la no comparecencia del contrincante debido a la renuncia de un jugador.

Apuestas a ganador: no se aplicarán reembolsos para ausentes. Se aplicarán las reglas del empate. Todas las apuestas tienen validez durante el tiempo reglamentario a no ser que se indique lo contrario. Si un partido se juega en 3 periodos en lugar de disputarse en dos y medio, el resultado que se tendrá en cuenta, una vez transcurridos 45 minutos, será el resultado del primer tiempo para todos los grupos de apuestas.

Si el partido se ha pospuesto o cancelado, todas las apuestas quedarán anuladas, en el caso de que el partido no se juegue en el plazo de 12 horas de la hora de inicio original. Especiales de jugadores: Cualquier jugador implicado en una apuesta especial debe participar en el partido, de lo contrario las apuestas quedarán anuladas.

Un partido se vuelve oficial una vez que se hayan jugado 5 entradas 4. Las apuestas por el Total de carreras, totales de Equipo se mantendrán si al menos 9 entradas son jugadas 8. Todas las apuestas incluyen entradas adicionales a menos que se especifique. Si un playoff fuera suspendido y completado en el lapso de las siguientes horas luego de la suspensión, todas las apuestas se mantendrán y se cerrarán de acuerdo al final del juego.

Si, por alguna razón, un partido terminase en empate, las apuestas a ganador serán anuladas, mientras que todas las otras apuestas se mantendrán y serán saldadas según el resultado oficial.

Los 5 innings a ganador deberán completarse 4,5 si el equipo local está por delante en el marcador para que el resultado sea oficial. Todas las demás apuestas son válidas si se juegan 7 innings 6,5 si el equipo local está por delante en el marcador Lanzadores iniciales: Los lanzadores iniciales publicados en los mercados de béisbol únicamente están disponibles con fines informativos.

Los lanzadores iniciales que se muestren en tu historial de apuestas o en tu talón de apuesta no afectarán a tu apuesta, y todas las apuestas seguirán siendo válidas; tanto si se el lanzador inicial mostrado juega al comienzo del partido o no.

Especiales de jugadores: Cualquier jugador implicado en una apuesta especial de jugadores debe jugar en el partido para que las apuestas tengan validez. En el caso de los lanzadores, deben realizar al menos un lanzamiento. Bateadores deberán que tener al menos una presencia en el home plate.

En aquellos partidos en los no se completen 9 entradas 8,5, si el equipo local está ganando , todas las apuestas especiales de jugadores se anularán, a no ser que el resultado ya se haya determinado.

El resultado puede verse determinado por el pase a la siguiente fase o la eliminación del jugador antes de que finalice el partido. Si el tiempo que queda del partido se cancela, pospone o suspende, esto no afectará a dichas apuestas. Cualquier apuesta especial o de proposiciones relacionadas con quién marcará primero se establecerá según quién marque primero; si el tiempo que queda del partido se cancela, pospone o suspende, esto no afectará a dichas apuestas Apuestas de las series de la temporada regular: Todos los partidos programados de una serie deben disputarse en un plazo máximo de 24 horas contadas a partir de la hora programada originalmente para el último partido de la serie.

Si algún partido de las series no finaliza durante este periodo de tiempo, todas las apuestas de las series se anularán. Los resultados de todos lo partidos deben ser resultados oficiales en las clasificaciones para que las apuestas sean válidas.

Los lanzadores iniciales no influyen en las apuestas de las series. Béisbol internacional: Cualquier partido que finalice en base a la "Mercy Rule" regla de la misericordia tendrá validez, independientemente del número de entradas que se disputen.

Grand Salami: Deben disputarse al menos 8,5 entradas durante todos los partidos para que las apuestas sean válidas. Si se pospone un partido, se anularán las apuestas, a menos que el partido se juegue en un plazo de 12 horas a partir de la hora de inicio original.

Todas las apuestas del Grand Salami siguen teniendo validez, independientemente de si se realizan cambios de lanzamiento durante ese día en concreto. Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 minutos o menos para el final del encuentro, a menos que el resultado del mercado específico ya se haya determinado.

Especiales de jugadores: Todas las apuestas especiales de jugadores requieren que todos los jugadores involucrados en ellas participen en el encuentro.

De no ser así, las apuestas serán anuladas. Establecimiento de apuestas: Todos los resultados deben basarse en los resultados de la fuente oficial o el sitio web oficial de la competición en cuestión. En los casos en que no se dispongan de estadísticas ni resultados procedentes de fuentes oficiales, o existan pruebas fiables de que el sitio web ha utilizado información incorrecta de fuentes independientes, el establecimiento de apuestas puede revocarse.

En aquellos casos en que se carezca de información coherente, estableceremos las apuestas según nuestras estadísticas internas. Para todos los partidos que se juegan como parte de una eliminatoria de dos partidos; cuando el marcador total sea igual al final del tiempo reglamentario en el partido de vuelta, se incluirá el tiempo extra para determinar el resultado de las apuestas del partido de vuelta.

Apuestas a largo plazo de la NBA: En el caso de enfrentamientos y apuestas totales a equipo ganador de la temporada regular, ambos equipos deben disputar un mínimo de 80 partidos de la temporada regular para que las apuestas sean válidas. Sin embargo, si el resultado ya es definitivo antes de disputar los 80 partidos, no se aplica esta regla.

Según las reglas de la NBA. Ganador de la División: las apuestas se establecerán según las reglas oficiales de desempate de la NBA Ganador de la Conferencia: los equipos que avancen hacia las finales de la NBA se considerarán los campeones de las conferencias.

Estos resultados no se basan en el récord de la temporada regular. Apuestas de partidos Ganador del partido Las apuestas se establecerán en función del equipo que gane el juego. El tiempo extra cuenta Hándicap Las apuestas se establecerán en función del equipo que gane el juego después de haber aplicado el hándicap de puntos al marcador real.

El tiempo extra cuenta Puntos totales Las apuestas se establecerán en función de si el total de puntos anotados en el juego está por encima o por debajo de la línea establecida.

El tiempo extra cuenta Puntos totales equipo local Las apuestas se establecerán en función de si el total de puntos anotados por el equipo local está por encima o por debajo de la línea establecida. El tiempo extra cuenta Puntos totales equipo visitante Las apuestas se establecerán en función de si el total de puntos anotados por el equipo visitante está por encima o por debajo de la línea establecida.

El tiempo extra cuenta Equipo que anota la última canasta Las apuestas se establecerán en función del equipo que anote la última canasta.

El tiempo extra cuenta a menos que se indique lo contrario Resultado doble Las apuestas se establecerán en función del resultado del partido en el medio tiempo y el tiempo completo. Ambas predicciones deben ser correctas para que las apuestas sean ganadoras. El tiempo extra cuenta a menos que se indique lo contrario Margen del triunfo Las apuestas se establecerán en función del equipo ganador y su margen de victoria.

La información ordinal disponible no nos permite responder a esa pregunta. Es preciso, por tanto, definir un tipo de escala de utilidad en la que preguntas como la anterior puedan responderse con naturalidad.

En esta sección definiremos la escala de utilidades de Von Neumann-Morgenstern, que es la más sencilla de entre las que permiten definir las preferencias de un agente, no sólo entre opciones puras ciertas o seguras sino también entre loterías o distribuciones de probabilidad definidas sobre dichas opciones puras.

Loterías Supongamos que un agente debe elegir una entre varias alternativas, siendo conocidas de manera objetiva las probabilidades asociadas a las alternativas. En estas condiciones, en teoría de la decisión se dice que estamos en un contexto de elección en ambiente de riesgo.

Suponemos, por tanto, que dicho conjunto es finito este supuesto lo hacemos para evitar la excesiva complicación del desarrollo posterior.

En una lotería simple, los resultados que se pueden obtener son ciertos los elementos del conjunto X. En una forma más general de lotería, llamada lotería compuesta, los resultados que se pueden obtener son loterías simples, tal como se define a continuación.

Dada la lotería compuesta L1, L2, j2 p2i! jmLm Ejemplo 1. Ɑ sobre LX, que cumple Se supone que el decisor tiene una relación de preferencia V las propiedades de completitud y transitividad. Por tanto, suponemos que la relación de Ɑ es racional.

A continuación se definen otras propiedades a considerar en la preferencia V Ɑ sobre LX. relación de preferencia V Definición 1. j } {j à [0, 1]: Lññ V son cerrados. La propiedad de continuidad significa que pequeños cambios en las probabilidades no producen cambios en el orden entre dos loterías.

j L, Lññ; j, 1. j V Función de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern A continuación se define el concepto de función de utilidad esperada de Von NeumannMorgenstern.

Posteriormente se enuncian y demuestran dos proposiciones en las que se presentan importantes propiedades de dichas funciones de utilidad y finalmente se enuncia el teorema de la utilidad esperada.

u2 p2! un pn La siguiente proposición da una condición necesaria y suficiente para que una función con dominio en LX que toma valores en R sea una función de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern. jm pm i. p2 0, 1, pn 0, 0, rrespondiente a la relación de preferencia V V: LX r R es otra función de utilidad esperada Von Neumann-Morgenstern corresⱭ.

b, para cada L à LX. Demostración: ú Sean U y V funciones de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern definiⱭ. b, para cada L à LX Por ser U función lineal, es continua. El conjunto LX es cerrado y acotado. Supongamos que L1 Ɑ L. Sea L à LX. Vemos que podemos encontrar aL à [0, 1], tal que L V aLL1!

b, para cada L à LX, siendo U una función de utilidad esperada de Von Neumann-MorⱭ. Veamos que V es otra función de utilidad esperada de genstern correspondiente a V Von Neumann-Morgenstern. Sean m L1, L2, Además, por ser U una representación de V cumple que Ɑ Lñ LV á U L n U Lñ á aU L!

b á V L n V Lñ A continuación se enuncia el teorema de existencia de la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern. La demostración del teorema se puede consultar en Mas-Colell, Whiston y Green Formas de representación de un juego 19 Teorema 1.

Entonces V admite una representación en forma de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern. Es decir, existen n valores reales u x1 , u x2 , Cabe entonces considerar loterías representadas por funciones de densidad o por funciones de distribución.

Así, sea una lotería en R caracterizada por una función de densidad f. Sea LX el conjunto de todas las funciones de densidad en R. ä siendo u: R r R tal que u x es la utilidad de la cantidad monetaria segura x, por lo que se supone que la función u es creciente y continua.

Si la lotería en R se caracteriza por una función de distribución F, puede representar tanto distribuciones de probabilidad discretas como continuas en R.

LX será el conjunto de todas las funciones de distribución en R. ä En cualquiera de las representaciones, se cumple también el teorema de la utilidad esperada siempre que se cumplan las hipótesis del Teorema 1.

En lo que sigue, y mientras no anunciemos explícitamente otra cosa, supondremos que las preferencias de los agentes cumplen las condiciones del Teorema 1. Vamos a calcular el valor esperado de L y comparar la utilidad esperada con la utilidad del valor esperado.

Suponemos que la función de utilidad u de un agente cualquiera es estrictamente creciente prefiere una renta mayor a una renta menor. Si u es diferenciable, la suposición anterior significa que uñ x b 0, para todo x à R. Decimos que un agente es averso al riesgo en el intervalo [a, b] si el valor esperado de cualquier lotería en [a, b] es al menos tan preferido como dicha lotería.

Si la lotería es al menos tan preferida como su valor esperado, decimos que es propenso al riesgo o amante del riesgo. Y si es indiferente entre ambas opciones, decimos que es neutral al riesgo.

Formas de representación de un juego 21 Teorema 1. El agente es: Averso al riesgo en [a, b] si y sólo si uññ x m 0, para todo x de [a, b], es decir, si u es cóncava en [a, b]. Propenso al riesgo en [a, b] si y sólo si uññ x n 0, para todo x de [a, b], es decir, si u es convexa en [a, b].

Demostración: Sean x1, x2, pnxn que es precisamente la utilidad del valor esperado es mayor o igual que p1u x1! p2u x2! pnu xn que es precisamente la utilidad esperada de la lotería L. Si u es dos veces diferenciable, un conocido teorema del cálculo diferencial asegura que la función u es cóncava en [a, b] si y sólo si uññ x m 0, para todo x de [a, b].

Por tanto, uññ x m 0 para todo x de [a, b] si y sólo si para el agente el valor esperado de cualquier lotería es al menos tan preferido como la lotería, es decir es averso al riesgo en [a, b].

Análogamente, uññ x n 0 para todo x de [a, b] si y sólo si el agente es propenso al riesgo en [a, b]. pnxn , que es la utilidad del valor esperado de L, es igual a p1u x1!

pnu xn , que es la utilidad esperada de L. Observación 1. La función de utilidad de un agente neutral al riesgo es lineal. La función de utilidad de un agente averso propenso al riesgo es cóncava convexa.

Consideremos los tres agentes del Ejemplo 1. Veamos que se confirman para cualquier lotería. El primer agente prefería el valor esperado antes que la lotería. Es averso al riesgo en [0, ä] Al segundo agente le daba igual el valor esperado que la lotería.

Es neutral al riesgo en [0, ä] El tercer agente prefería la lotería antes que el valor esperado. Es propenso al riesgo en [0, ä] Prima de riesgo En términos intuitivos, es la cantidad que un agente averso al riesgo está dispuesto a pagar para librarse del riesgo. z0 valor esperado menos equivalente cierto.

Visualización gráfica Figura 1. z es la prima de riesgo de L. Calculemos sus equivalentes ciertos y sus primas de riesgo. El equivalente cierto de L para un agente neutral al riesgo es igual al valor esperado. El equivalente cierto de L para un agente averso propenso al riesgo es menor o igual mayor o igual que el valor esperado.

La prima de riesgo de L para un agente neutral al riesgo es nula. La prima de riesgo de L para un agente averso propenso al riesgo es mayor o igual a cero menor o igual a cero.

No es casualidad que los pagos que un cliente realiza por una póliza de seguros de automóvil, de incendios, etc. se llamen primas. Las definiciones siguientes intentan cuantificar las ideas anteriores, de modo que sea posible comparar la aversión o propensión al riesgo de dos agentes cualesquiera.

La idea intuitiva es que la curvatura de la función de utilidad de un agente, medida por su derivada segunda, nos informa del grado de aversión al riesgo de dicho agente. Se supone que u es dos veces diferenciable en [a, b].

xuññ x uñ x Proposición 1. En ese caso es neutral al riesgo. d, siendo c b 0, donde a b 0. d, siendo c b 0, donde a a 0. c b Veamos cada una de las dos implicaciones.

ax, en donde C es una constante positiva. uñ x c Se demuestra de manera análoga a b. Algunos comentarios sobre las distintas escalas de medida La escala en que se mide la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern es cardinal intervalo como la de temperatura en grados centígrados.

Tiene sentido decir «la utilidad de A es mayor que la de B» y también «la diferencia de utilidad entre B y C es cinco veces mayor que entre A y C», pero no lo tiene decir «la utilidad de A es doble que la de B» o «la utilidad de A es 5 unidades mayor que la de B».

El tipo de escala aplicable para representar una magnitud depende de las características físicas y lógicas de dicha magnitud. La lista siguiente menciona las escalas más importantes, seguidas de algún ejemplo de magnitud al que se apliquen: Escala Ordinal Dureza A tiene igual o mayor dureza que B si y sólo si U A n U B.

No tiene sentido decir «A tiene doble dureza que B». No se ha encontrado, que sepamos, la manera de medir la dureza de los materiales con una escala más rica o elaborada que la ordinal. Escala Cardinal-Intervalo Temperatura A tiene igual o mayor temperatura que B si y sólo si U A n U B.

No tiene sentido decir «A tiene doble temperatura que B», pero sí decir que «la diferencia de temperatura entre A y B es doble que entre C y D». Escala Cardinal-Ratio Peso o saldo, sin especificar la unidad de medida A tiene igual o mayor peso o saldo que B si y sólo si U A n U B.

No tiene sentido decir «a tiene un peso tres unidades mayor que b, pero sí decir que a tiene un peso doble que b». Tienen sentido todas las sentencias anteriores. JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA Para introducir la forma extensiva de representación de un juego nos servimos del siguiente juego sencillo.

Aquél a quien le toca jugar puede pasar, o pujar con 20 euros más que el anterior suponiendo que los tiene. Empieza Blanca pasando o pujando con 20 euros.

Si un jugador decide pasar, ya no puede pujar en una jugada posterior. Gana el último en pujar, que se lleva el billete. Si ninguno ha pujado se llevan 25 euros cada uno. Ambos jugadores deben pagar su última puja. Aparte de las reglas es de conocimiento común que cada jugador tiene sólo 60 euros.

Sean: Blanca, la jugadora 1, Carlos, el jugador 2. Podemos representar la situación descrita en el ejemplo anterior mediante árbol representado en la Figura 1.

El árbol anterior tiene un punto inicial o raíz, desde el que se empieza el juego, en este caso la elección de Blanca jugadora 1 entre pasar P o pujar con 20 euros Ello da lugar a dos ramas, una para cada posible elección de Blanca.

La primera rama, a la que se accede si Blanca elige P, a la vez se divide en dos ramas, desde el nodo que corresponde a la elección de Carlos entre pasar P o pujar con 20 euros Si Carlos decide pasar P , se termina el juego y cada jugador recibe 25 euros, mientras que si decide pujar con 20 euros, el juego termina, llevándose Carlos los 50 euros y teniendo que pagar su puja, por lo que obtiene un beneficio de 30 euros, sin que Blanca tenga que pagar ni recibir nada situación que se recoge en el nodo que lleva asociados los valores 0, Formas de representación de un juego 27 La segunda rama, a la que se accede si Blanca puja con 20 euros, a su vez se divide en dos ramas, desde el nodo que corresponde a la elección de Carlos entre pasar P o pujar con 40 euros 40 , 20 euros más que la puja de Blanca.

Si el jugador 2 elige P, se acaba el juego, recibiendo Blanca los 50 euros, pero teniendo que pagar los 20 de su puja, sin que Carlos reciba ni pague nada.

Si Carlos puja con 40 euros llega el turno de nuevo a Blanca que debe elegir entre pasar y se acaba el juego, con pagos. Los elementos que definen el árbol del juego son: Los jugadores, que en este caso son la jugadora 1 Blanca y el jugador 2 Carlos.

Un conjunto de nodos, los cuales corresponden a situaciones de elección de alguno de los jugadores o de final del juego. Un conjunto de acciones, que son las que enlazan un nodo con otro, y que corresponden a elecciones de los jugadores.

Unos vectores de pagos, cada uno de los cuales está asociado a un nodo de final de juego y que tiene dos componentes, la primera de las cuales recoge el pago o la utilidad que recibe o que obtiene el jugador 1, y la segunda de las cuales recoge el pago o la utilidad que recibe o que obtiene el jugador 2 si el juego termina en ese nodo.

El ejemplo anterior es un juego con movimientos sucesivos de los jugadores. Veamos a continuación un ejemplo con movimientos simultáneos, en el que habrá que introducir un nuevo concepto para poder representar el juego por medio de un diagrama.

Si resultan dos caras o dos cruces, el jugador 1 recoge los dos euros, mientras que si hay una cara y una cruz, el jugador 2 se lleva los dos euros.

La representación en forma extensiva de este juego se recoge en la Figura 1. Se dice que estos dos nodos forman un conjunto de información para el jugador 2, puesto que dicho jugador no sabe en cuál de los nodos de dicho conjunto se encuentra. El juego anterior también se puede representar de la siguiente forma equivalente Figura 1.

En general, un conjunto de información es un conjunto de nodos de decisión para el mismo jugador. Cuando a un jugador le toca jugar desde un conjunto de información el jugador no sabe en cuál de los nodos pertenecientes a dicho conjunto se encuentra.

Las condiciones que deben cumplir varios nodos para pertenecer al mismo conjunto de información son las siguientes: Los conjuntos de información del jugador i à J contienen sólo nodos de decisión del jugador i.

Cada nodo de decisión del jugador i está contenido en uno y sólo uno de los conjuntos de información de ese jugador. Las mismas acciones deben estar disponibles para un jugador en cada uno de los nodos de un conjunto de información. De no ser así, dicho jugador tendría una pista sobre el nodo en que se encuentra, a partir de las acciones que están disponibles en ese nodo.

Veamos a continuación otro ejemplo en el cual uno de los movimientos lo realiza la naturaleza o el azar. Cada uno de los dos jugadores, Blanca y Carlos, deposita un billete de 5 euros en la mesa. A continuación, Blanca toma una carta de la baraja y comprueba cuál es.

Nadie más ve la carta. Entonces Blanca puede apostar, poniendo 5 euros más en la mesa, o retirarse. Si se retira, el dinero que hay en la mesa es para Blanca si la carta escogida es un oro o una copa, siendo para Carlos si la carta en cuestión es una espada o un basto.

Formas de representación de un juego 29 Si ha optado por apostar, Carlos puede recoger la apuesta, poniendo 5 euros más en la banca, o pasar.

En el primer caso se lleva todo Blanca si la carta escogida es un oro o una copa, o todo Carlos si se trata de una espada o un basto. Si Carlos pasa se lo lleva todo Blanca, cualquiera que sea la carta escogida.

Sean: Blanca, la jugadora 1, Carlos el jugador 2. La representación de este juego en forma extensiva aparece en la Figura 1. Cuando hay un movimiento que lo realiza la naturaleza, se representa como si lo realizara el jugador 0.

Vemos en el diagrama que la raíz del juego, en este caso, corresponde a una intervención del azar jugador 0 , que determina si la carta que toma la jugadora 1 es de alguno de los palos que la favorecen, oros o copas O-C o de los que no la favorecen, es decir, espadas o bastos E-B.

Por tanto, cuando en un juego hay algún movimiento realizado por el azar o por la naturaleza, se introduce el jugador 0 y se especifica la probabilidad de cada una de las ramas que surgen del nodo correspondiente al jugador 0.

Elementos de un juego A continuación se definen los elementos que caracterizan a un juego en forma extensiva. Sea X el conjunto de nodos. Un nodo representa una posible situación del juego. Entre los nodos hay uno de ellos que es la raíz del juego, punto de comienzo del juego.

Dicho nodo se representa por o referente al origen. Un nodo es terminal si no le sigue ningún otro nodo, siendo un nodo de decisión si le sigue algún otro nodo. T X , el conjunto de nodos de decisión del juego. Sea A el conjunto de todas las posibles acciones. Se define la función: a: X.

Se verifica que si xñ, xññ à s x , siendo xñ Ç xññ, entonces a xñ Ç a xññ. Es decir, acciones que parten del mismo nodo y conducen a nodos distintos, deben ser distintas. Para cada jugador i sea Xi el conjunto de nodos de decisión en los que el jugador i tiene que elegir una acción.

En un nodo particular de decisión sólo mueve uno de los jugadores. Una familia de conjuntos de información H, y una función h: X x r H r h x que asigna a cada nodo x un conjunto de información h x al que pertenece. Los conjuntos de información forman una partición de D X.

Por tanto, podemos representar por A h el conjunto de acciones disponibles en el conjunto de información h. Sea H el conjunto que contiene a todos los conjuntos de información contenidos en los Hi, para i à J.

Una función o : H0 A h, a r r [0, 1] o h, a que asigna probabilidades a acciones en conjuntos de información donde el movimiento corresponde a la naturaleza o al azar. Por tanto, recogiendo todos los elementos anteriores podemos dar la siguiente definición.

Para este juego con este diagrama vamos a ir calculando cada uno de los elementos que aparecen en la Definición 1. En este caso se tiene que: 1. Es el conjunto de los jugadores, entre los que se encuentra el jugador número 0 que corresponde al azar.

Asociada a este conjunto se define la función p, que hace corresponder a cada nodo distinto del origen su nodo inmediatamente predecesor, y al origen el propio origen. Asociada a este conjunto está la siguiente función a que hace corresponder a cada nodo distinto del origen la acción que conduce a dicho nodo.

A continuación se define el conjunto de acciones disponibles en cada uno de los conjuntos de información del juego. Definimos ahora la función de pagos, que hace corresponder un vector bidimensional a cada uno de los nodos terminales.

En este caso hay tres jugadores y no hay ningún movimiento que corresponda al azar por lo que no hay jugador número cero. En este caso no tiene sentido definir la función o porque no existen movimientos de azar es decir, no hay jugador número cero.

A cada nodo terminal le hacemos corresponder ahora un vector de pagos, en donde la primera componente consiste en el pago que va a recibir el jugador número 1, la segunda componente el pago que va a recibir el jugador número 2 y la tercera componente el pago que va a recibir el jugador número 3.

JUEGOS EN FORMA ESTRATÉGICA Para representar un juego en forma estratégica necesitamos partir del concepto de estrategia de un jugador. Una estrategia es un plan contingente, completo o regla de decisión, para un jugador, que especifica cómo actuará el jugador en cada circunstancia posible en que le corresponda mover.

Como hemos visto en el apartado anterior, el conjunto de tales circunstancias se corresponde con la familia de los conjuntos de información del jugador. A continuación definimos formalmente el concepto de estrategia pura para el jugador i.

Existen otros conceptos de estrategia que estudiaremos más adelante. Formas de representación de un juego 37 Definición 1.

Por tanto, una estrategia pura para el jugador i hace corresponder, a cada conjunto de información del jugador i una de las acciones disponibles en dicho conjunto de información.

Sea Si el conjunto de todas las estrategias puras del jugador i. Dada una estrategia pura si à Si para cada uno de los jugadores 1, 2, Jugador 2 Jugador 1 Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Figura 1. Así, por ejemplo, la estrategia pura s11 indica que el jugador 1 comenzará eligiendo la acción a y posteriormente si el juego llega a los nodos x4 o x5 eligirá la acción f.

Pero si comienza eligiendo la acción a el juego ya finaliza en el nodo x1 y nunca pasará por los nodos que constituyen el segundo de los conjuntos de información del jugador 1.

Análogamente, la estrategia s51 indica que el jugador 1 comenzará eligiendo la acción c y posteriormente si el juego llega a los nodos x4 o x5 eligirá la acción f, acción que nunca tendrá la oportunidad de elegir si previamente ha elegido la acción c.

De todas formas, tal como se ha definido formalmente el concepto de estrategia, hace falta especificar una acción para cada uno de los conjuntos de información del jugador. Así, si el jugador 1 elige alguna de sus estrategias s11 o s21 el juego finaliza en el nodo x1 sin que el jugador 2 tenga ninguna opción de elegir alguna acción.

Formas de representación de un juego 39 Para cada combinación formada por una de las estrategias del jugador 1 y una de las estrategias del jugador 2 se realiza un curso del juego, llegándose a un nodo terminal.

Así por ejemplo, si el jugador 1 elige su estrategia s41 y el jugador 2 elige s22, el jugador 1 comienza eligiendo la acción b, sigue el jugador 2 eligiendo la acción e, y finaliza el jugador 1 eligiendo la acción g, llegándose al nodo terminal x11 recibiendo el jugador 1 un pago de 2 y el jugador 2 un pago de 1.

Si, por ejemplo, el jugador 1 elige su estrategia s21 y el jugador 2 su estrategia s12, el jugador 1 comienza eligiendo la acción a, llegándose directamente al nodo terminal x1, sin que el jugador 2 tenga ocasión de poner en práctica su acción d que constituye su estrategia elegida, ni el jugador 1 tenga opción de elegir la acción g que forma parte de su estrategia elegida.

Por tanto, el concepto de estrategia requiere redundancia, lo cual es inevitable porque un jugador puede querer elegir una estrategia que evite un conjunto de información de otro jugador, precisamente por la acción que dicho jugador eligiría en tal conjunto de información.

Por tanto, un juego en forma estratégica viene especificado por el conjunto de jugadores, el conjunto de estrategias para cada jugador y los pagos o utilidades que reciben los jugadores para cada combinación de estrategias.

Se puede recoger toda la información requerida para la forma estratégica del juego en la siguiente matriz: Jugador 2 s12 Jugador 1 s22 sn2 ñ s11 u1 s11, s12 , u2 s11, s12 u1 s11, s22 , u2 s11, s22 ñ u1 s11, sn2 , u2 s11, sn2 s21 u1 s21, s12 , u2 s21, s12 u1 s21, s22 , u2 s21, s22 ñ u1 s21, sn2 , u2 s21, sn2 ñ ñ sm 1 ñ 1 m 1 u1 sm 1 , s2 , u2 s1 , s2 ñ ñ 2 m 2 m n m n u1 sm 1 , s2 , u2 s1 , s2 ñ u1 s1 , s2 , u2 s1 , s2 Así, el juego del Ejemplo 1.

Solución: Las estrategias puras de la jugadora 1 Blanca son: s elegir P en la primera acción y elegir P si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido s elegir P en la primera acción y elegir 60 si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido s elegir 20 en la primera acción y elegir P si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido s elegir 20 en la primera acción y elegir 60 si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido Las estrategias puras del jugador 2 Carlos son: s elegir P si la jugadora 1 ha elegido P y elegir P si la jugadora 1 ha elegido s elegir P si la jugadora 1 ha elegido P y elegir 40 si la jugadora 1 ha elegido s elegir 20 si la jugadora 1 ha elegido P y elegir P si la jugadora 1 ha elegido s elegir 20 si la jugadora 1 ha elegido P y elegir 40 si la jugadora 1 ha elegido Así, el juego del Ejemplo 1.

En la segunda parte cada jugador debe elegir individualmente y de manera simultánea entre doble o mitad. Si un jugador elige doble y el otro mitad, el que ha elegido doble se lleva Si los dos eligen mitad se llevan 2.

Si los dos eligen doble se queda todo el dinero en la mesa. Representar el juego en forma estratégica. Solución: La representación del juego en forma estratégica es: Jugadora 2 Doble Jugador 1 Mitad Doble 0, 0 Mitad 0, Por tanto, en este caso se trata de pagos esperados o utilidades esperadas.

Solución: En este juego, además del azar, intervienen los jugadores 1 Blanca y 2 Pedro. Utilizando la notación de la Figura 1. s21 consite en APOSTAR si salen oros o copas y RETIRARSE si salen espadas o bastos. s31 consiste en RETIRARSE si salen oros o copas y APOSTAR si salen espadas o bastos.

s41 consiste en RETIRARSE si salen oros o copas y RETIRARSE si salen espadas o bastos. Las estrategias puras del jugador 2, utilizando la notación de la Figura 1. Si la jugadora 1 elige s11 y el jugador 2 elige s12, entonces se llegará al nodo terminal x7 en la Figura 1.

Por tanto, para esa combinación de estrategias puras los pagos serán: 10,. Así que el pago esperado que va a recibir la jugadora 1 es igual a 0,5 10! El pago esperado que va a recibir el jugador 2 es 0,5.

De manera análoga, si por ejemplo la jugadora 1 elige s31 y el jugador 2 elige s22 se llegará al nodo x4 con pagos 5,. Por lo que el pago esperado que va a recibir la jugadora 1 es igual a 5 y el pago esperado que va a recibir el jugador 2 es.

En realidad, en este caso los jugadores van a recibir dichos pagos con seguridad probabilidad 1. Representación estratégica en juegos con tres jugadores En juegos con tres jugadores en los que cada uno de ellos tiene un número finito de estrategias puras es posible recoger toda la información de la representación estratégica del juego utilizando varias tablas parecidas a las utilizadas para juegos con dos jugadores, procediendo de la manera que se indica en los siguientes ejemplos.

Formas de representación de un juego 45 Ejemplo 1. Un día quieren pasar la velada juntos viendo un programa de televisión.

Hay tres programas emitidos simultáneamente que les interesan: película, Operación Triunfo y fútbol. La utilidad que obtiene cada uno de los miembros de la familia por cada uno de los programas aparece en la Tabla 1.

Representar la situación como un juego en forma estratégica. Solución: Sean: El padre, el jugador 1. La madre, la jugadora 2. La hija, la jugadora 3. Para cada uno de los jugadores, sus estrategias son: P: votar por ver la película.

OT: votar por ver Operación Triunfo. F: votar por ver el partido de fútbol. Obsérvese que para cada estrategia de la jugadora 3 se construye una tabla en la que se van combinando pares de estrategias de los jugadores 1 y 2 con la estrategia fijada de la jugadora 3 que aparece en el encabezamiento de la tabla correspondiente.

El jugador 1 tiene un único conjunto de información, el conjunto que contiene únicamente al nodo inicial o, por lo que las estrategias del jugador 1 se corresponden con las acciones disponibles desde el nodo inicial.

d, g , que consiste en que el jugador 2 elige d desde x1 y g desde x2. e, f , que consiste en que el jugador 2 elige e desde x1 y f desde x2. e, g , en que el jugador 2 elige e desde x1 y g desde x2. Vamos a utilizar la forma matricial para tres jugadores.

Para ello elegimos uno de los jugadores, por ejemplo el jugador 3, y combinamos cada una de las estrategias de dicho jugador con todas las combinaciones de estrategias de los demás jugadores, en este caso los jugadores 1 y 2, calculando los pagos para cada combinación de estrategias.

La representación que se obtiene es la siguiente: Sea h la estrategia pura del jugador 3 Jugador 1 d, f d, g 3 1, 4, e, f 3 1, 4, b 2, 4,. Las formas extensiva y estratégica de representación de un juego que hemos introducido en apartados anteriores se utilizan para estudiar juegos no cooperativos, en los que interesan las estrategias de los jugadores y las utilidades o los pagos que se obtienen para combinaciones de estrategias.

En los juegos cooperativos se parte de que es posible que algunos jugadores puedan llegar a acuerdos vinculantes a los que quedarían obligados de manera ineludible , por lo que se trata de estudiar los resultados que puede obtener cada una de las coaliciones de jugadores que se pueda formar.

Por tanto, se trata de estudiar cómo pueden actuar grupos de jugadores, interesándonos los comportamientos colectivos y sin que haga falta detenerse en las acciones individuales de cada uno de los miembros de una coalición.

Obsérvese que el conjunto de jugadores es finito. Sea P J el conjunto de las partes de J, que está formado por cada una de las posibles coaliciones que se pueden formar incluyendo la coalición sin jugadores que es Y. Supongamos que las utilidades de los jugadores son transferibles, lo cual quiere decir que las ganancias o pérdidas que se obtienen al actuar como coalición pueden repartirse entre los jugadores que la componen.

Se llama función característica a una función que asigna a cada coalición un número real, asignando al conjunto vacío el valor cero. Para una coalición S, a v S se le llama valor de la coalición y es el valor mínimo que puede obtener la coalición si todos sus miembros se asocian y juegan en equipo.

Se trata por tanto del valor que una coalición puede garantizarse que obtendrá si realmente funciona como tal coalición y toma sus decisiones de manera adecuada. A continuación se define formalmente qué se entiende por representación de un juego en forma coalicional o en forma de función característica.

Formas de representación de un juego 49 Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1. Dadas sus tecnologías, la empresa 1 puede producir 0, 8 o 16 unidades de output al coste unitario de 2 unidades monetarias, la empresa 2 puede producir 0, 4 o 12 unidades al coste unitario de 2 u.

y la empresa 3 puede producir 0, 8 o 12 unidades al coste unitario de 2 u. Se trata de representar el juego en forma coalicional. Solución: En primer lugar vamos a representar el juego en forma estratégica. Para ello vamos a ir calculando el valor de cada coalición: Empezamos con la coalición formada únicamente por la jugadora 1.

A la vista de la representación del juego en forma estratégica, es claro que si la jugadora 1 elige su estrategia 0 obtendrá un pago de 0, hagan lo que hagan las demás jugadoras. Consideremos ahora la coalición formada por las jugadoras 1 y 2.

Para cada combinación de estrategias de las jugadoras 1 y 2 la coalición {1, 2} obtendrá un pago suma de los pagos de ambas jugadoras que dependerá de la estrategia que juegue la jugadora 3.

Obsérvese que queda sin especificar cómo se reparte el valor obtenido por la coalición entre las dos jugadoras que la componen. e4 «las blancas deberían ganar», según Adams. Berliner afirma que tras 1. d4 las blancas tendrían una ventaja ganadora.

Posición después de Cf3: las negras deben continuar ya sea con la variante Zaitsev Te8 , permitiendo las tablas inmediatas al blanco, o escoger una variante diferente.

Polugaevsky — Ftáčnik , posición después de Polugaevsky — Ftáčnik, posición después de F May Chess Review : También disponible en DVD página de "Chess Review " archivo PDF en el DVD.

Estas incluyeron partidas de siete torneos empezando con Londres y terminando con París , de las cuales las blancas ganaron , empataron y perdieron ; 3. y Paul van der Sterren New in Chess Yearbook Interchess BV.

ISBN Texto «van der Sterren, P. Archivado desde el original el 16 de abril de Consultado el 28 de junio de Las estadísticas de New in Chess dan el número de partidas jugadas y el porcentaje ganador global de las blancas sin especificar las victorias, empates y derrotas.

De las 1. De las Five Crowns. International Chess Enterprises. Chess Engines Grand Tournament. Archivado desde el original el 23 de abril de Consultado el 24 de junio de Archivado desde el original el 8 de septiembre de Archivado desde el original el 3 de marzo de Chess the Easy Way.

David McKay. Una variante popular es que las negras deben primero asegurarse la igualdad y sólo después buscar oportunidades de lograr ventaja Particularmente libros de la primera mitad del siglo XX remarcaron la necesidad de igualar antes que ninguna otra cosa».

Watson , p. Modern Chess Opening Theory. Pergamon Press. ISBN X. Adorján llamó «hipócrita» a Sveshnikov por hacer esa afirmación p. The Art of Chess-Play: A New Treatise on the Game of Chess.

En páginas previas de su libro, Walker escribía: "Aquel que hace la primera movida tiene al menos la ventaja de que puede, en alguna medida, escoger su propio plan de ataque, mientras que el segundo jugador es generalmente forzado, en las que se llaman Aperturas Regulares , a actuar a la defensiva en las primeras jugadas; después de lo cual la ventaja del primer movimiento desaparece.

My Great Predecessors , Part I. Everyman Publishers. Kasparov cita brevemente del largo tributo a Steinitz hecho por Emanuel Lasker , que aparece en Lasker , pp. Masters of the Chessboard.

Dover Publications. The Modern Chess Instructor. Edition Olms AG. Common Sense in Chess. se quejaba de que pronto, cuando todos los maestros más eminentes hubieran absorbido los principios de la técnica moderna, uno ya no podría esperar ganar una partida ante ellos; ¡el ajedrez habrá sido resuelto!

A History of Chess. The Abbey Library. Incluso si se puede demostrar que existe una eventaja de salida para las blancas, sigue siendo de una naturaleza tan intangible que si no hay errores posteriores no puede ganar.

Great Moments in Modern Chess. Por "punto de vista hiperteórico", Rowson se refiere al punto de vista de un observador omnisciente, uno con una comprensión perfecta del ajedrez.

Rowson , pp. Al nivel de "hiperteoría", el concepto de una "ventaja" para cualquier lado no es signiicativa, ya que sólo hay tres posibles evaluaciones de una posición: ganan las blancas, ganan las negras o empate. Rowson , p. Rowson también cita a Kasparov como habiendo dicho que el ajedrez es un empate.

Essential Chess Quotations. ISBN Writers Club Press edition. Benko, P. April Consultado el 8 de julio de The Adventure of Chess. and Jongkind, K. Bobby Fischer: The Wandering King. Chess Lists, Second Edition. Bogdan Lalic, The Marshall Attack , Gloucester Publishers, , p.

Donner escribió del gambito Marshall, "Este sacrificio de un peón en la actualidad sólo se juega con intención de lograr el empate. Especialmente contra los más fuertes maestros ha mostrado que es muy útil para ese fin.

Second Piatigorsky Cup. Dover reprint. The Modern Openings in Theory and Practice. Pitman Publishing. Qb6: «es un movimiento sorprendente que aquellos educados con los principios de ajedrez clásicos sencillamente rechazarían como un típico error de principiante. Las negras se lanzan a perseguir un peón en un momento en que están sin desarrollo y ya bajo ataque».

Esta antigua ley es válida incluso para Bobby Fischer'". Polugaevsky, L. En particular la captura del peón del caballo dama con la Dama frecuentemente trae su propia venganza. The Game of Chess.

See also Winter, E. Queen's knight's pawn C. Consultado el 10 de diciembre de Consultado el 27 de junio de En la página 10 se menciona la partida Vallejo Pons-Kasparov. Denker, A. Chess Review , 8 de agosto de , portada, pp. También disponible en DVD páginas , , en "Chess Review " archivo PDF en DVD.

Simple Chess. OCLC Adams, W. Absolute Chess. Adams, W March Chess Life : También disponible en DVD página 56 in "Chess Life " archivo PDF en DVD. May También disponible en DVD page 98 in "Chess Life " PDF file on DVD. October También disponible en DVD página in "Chess Review " archivo PDF en DVD.

Breyer continuó jugando 1. e4 Hooper y Whyld , pp. Saidy y Lessing , p. Archivado desde el original el 6 de junio de Consultado el 29 de junio de Archivado desde el original el 7 de junio de Archivado desde el original el 27 de octubre de De manera similar, en sus revisiones citadas más arriba, Randy Bauer escribió: «el remedio del Dr.

Berliner resulta más aceite de culebra que elixir de ajedrez». Adorján , p. Sin embargo, el GM Edmar Mednis ofreció una aparentemente contradictoria anécdota acerca de Fischer: «hace algunos años, mientras revisábamos mis partidas, él veía con sorpresa cuando yo pasaba al ataque bruscamente con las piezas negras.

Desaprobadoramente, aconsejó, 'Tienes que igualar primero con negras antes de empezar a buscar algo».

La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores

Jugadas decididas y efectivas - La apuesta “si un jugador es expulsado” se establece sobre cualquier jugador activo que recibe una tarjeta roja, ya sea una tarjeta roja directa o de dos La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores

Es verdad que Van der Wiel no tuvo su Tras 2 1. h6 xc8, las ne­ mejor día, pero la forma en que la posición ne­ gras no sólo pierden de calidad, sino que esta­ gra fue demolida resulta impresionante.

Nótese rían clavadas sin solución en la primera fila. cómo el conductor de las piezas blancas no es­ txe6 tLla6 tuvo inhibido por ideas tradicionales. Cuando era mejor abandonar toda intención de enro­ carse, lo hizo sin dudar, sabiendo que su rey centralizado no sería un factor relevante en la B lucha.

De forma similar, las blancas consiguie­ ron dominar las casillas centrales sin apenas usar sus peones. Recuerden los alfiles en las diagonales al -h8 y a2-g8, atravesando el flanco de rey negro; esta actividad sólo fue posible gracias al pobre desarrollo negro y sus conce­ siones en el centro principalmente 5.

Las enseñanzas a extraer de esta partida son: 1 No se deben hacer demasiados movimien­ tos de peón en la apertura. posición no ofrece esperanzas. Se hallan en 3 No se debe mover repetidamente la mis­ desventaja material, las piezas blancas son muy ma pieza en la apertura.

activas y sus peones de f5 y e4 son un blanco fá­ 4 Las debilidades sólo son relevantes si pue­ cil. den ser explotadas. El rey en el centro Otro de los principales objetivos de la apertura es salvaguardar al rey. En la mayoría de los planteos, los jugadores avanzan uno o más peones centrales para desarrollar las piezas.

Esto tiene el efecto secundario de exponer al rey y, en la mayoría de los casos, es necesario enrocar para evitar ataques tempranos sobre el monarca. El enroque tiene como efecto secundario positivo abrir el camino a las torres para que ocupen las columnas centrales, que suelen abrirse durante el medio juego.

Al igual que con otras recomendaciones de juego, siempre habrá excepciones. Si se forma un centro de peones bloqueado, que no permita al enemigo abrirlo y atacar fácilmente el rey, éste pue­ de permanecer en el centro. JÁLIFMAN - E. SVÉSHNJKO V rey de allí inmediatamente. Sin embargo, he de hacer hincapié en que estos casos son la excepción; enrocarse pronto es lo aconsejable la mayoría de las veces.

La siguiente partida es un ejemplo dra­ mático de lo que puede sucederle incluso a un gran maestro si retrasa demasiado el enroque. Pa rtida 2 A. Svésh n i kov -.

Campeona to de Rusia, Elistá Gambito de Dama Rehusado. En aje­ comunes; la otra es l e4. Existe la opinión de drez es conveniente ser flexible, pero es inevi­ que 1 d4 es una jugada más posicional que 1 e4.

table tomar algunas decisiones que definen la Realmente yo no observo una gran diferencia. estrategia posterior. Hay muchos planteos agudos que surgen de 1 3 c6 d4, así como muchas aperturas tranquilas que Las negras establecen una estructura de peo­ comienzan con 1 e4.

nes típica de la llamada "Semi-Eslava'', que 1 d5 recibe este nombre porque la estructura con Esta réplica simétrica es una de las más po­ peones en d5 y c6 es la Eslava, mientras que la pulares respuestas a 1 d4.

de peones en d5 y e6 es característica de la De­ 2 c4 fensa Ortodoxa contra el Gambito de Dama. Ésta es la jugada característica del Gambito Cuando las negras juegan tanto. c6 como. e6, de Dama. La intención de las blancas es cambiar se produce una especie de fusión de ambas es­ el peón central -d de las negras por su peón late­ tructuras, lo que justifica la etiqueta de "Semi­ ral -c, con el fin de obtener dos peones centrales Eslava".

Esta estructura de peones es muy po­ blancos por uno negro, lo que otorgaría ciertas pular entre los grandes maestros modernos. Es posibilidades de un mayor control del centro sólida, puesto que el importante peón central d5 otra de las claves del juego en la apertura.

está reforzado, y al mismo tiempo suele permi­ 2 e6 tir a las negras desarrollar sus piezas con como­ Aunque a esta apertura se la denomina Gam­ didad mediante. td6 y. dxc4, alfil-c8, algo que las negras esperan solventar no podrán mantener su peón extra. Por ejemplo, con.

dxc4 seguido de. tb 7, o bien con después de 3 e3 b5? te6 4 tt'ia3 recupera el. peón con ventaja 4 a4 la cadena de peones de 4 g3 las negras se desintegra y no sólo deberán de­ volver el peón sino que, además, su posición queda arruinada.

Nótese que 4. c6 no es posi­ ble debido a 5 axb5 cxb5 6 'ii'f3 atrapando la torre de a8. De hecho, las blancas podrían recu­ perar el peón mediante 3 e4 ó 3 tt'if3. Más habitual que tomar en c4 es apoyar el peón-d5 con 2.

En ese caso, si las blancas juegan cxd5 , las negras están prepara­ das para retomar con un peón, manteniendo un peón central en d5. La interesante idea de Jálifman peón de c4 sin esta jugada y, si es forzado ha­ se basa en que las negras suelen jugar. dxc4 y cerla, lo más flexible es jugarla inmediatamen­ b5 en la Semi-Eslava y, al colocar su alfil en la te.

Después de 6. tllbd7 7 a4 b5 , por ejemplo, 8 gran diagonal, está preparado para explotar el axb5 cxb5 9 tllg 5!

tlld5 10 e4 tllc 7 1 1 e5. b8 debilitamiento de esta diagonal que resulta de 12 'ii'h5 g6 1 3 'ii'f3 da a las blancas un ataque. El riesgo que esto entraña es que enton­ casi decisivo.

Si Svéshnikov permite simple­ ces jugará un verdadero gambito. Hemos visto mente que su rival recupere el peón-c4 se que­ anteriormente que las blancas pueden recuperar dará en desventaja. La finalidad del planteo su peón tras 2. dxc4 porque el alfil-fl ayuda a negro era sostener firmemente el peón-d5 y en­ las blancas a romper la cadena de peones ne­ tregar ese punto sin la compensación de un gros b5-c4.

Sin embargo, con el alfil en g2, no peón extra habría sido totalmente incongruente, es posible recuperar el peón de manera forzada. al dejar a las blancas con las manos libres en el 4 lllf6 centro.

Las negras podían haber tomado el peón in­ 7 a4 mediatamente con 4. dxc4 5 i. g2 b5, pero de­ Amenazando 8 axb5 seguido de una descu­ ciden desarrollar antes una pieza.

bierta en la gran diagonal, de forma muy simi­ 5. g2 lar a la descrita en la nota anterior. Algunos jugadores han elegido defender el 7 i. b7 peón-c4 mediante 5 tllbd2 o 5 'ii'c 2, pero Jálif­ Las negras se oponen a la amenaza reforzan­ man persiste en ofrecer un gambito.

do la gran diagonal. La alternativa era continuar el desarrollo sin aceptar el sacrificio por ejemplo 5. Es comprensible que B Svéshnikov quiera explotar los defectos del plan blanco, pero ahora sufrirá un peligroso ataque; habría sido más prudente declinar la oferta. Éste es un buen momento para detenerse y evaluar la situación.

Las blancas tienen una buena partida desde el punto de vista estratégi­ co, por su adelanto en el desarrollo y su peón de ventaja en el centro. Por otro lado, las negras tienen un peón de más. Siempre es complicado juzgar el valor relativo de las ventajas materia­ 6 les y posicionales, y este no es un caso fácil de La inmediata 6 tlle5 es también posible.

Es valorar. Sin embargo, hay algo muy claro: uno cierto que entonces las negras contarían con la de los principales factores que dan compensa­ perturbadora 6. por 7.

tlld5 8 i. d2 de gras aún les hacen falta dos movimientos para nuevo las blancas tienen buena compensación enrocar. Por ello las blancas deben plantear por el peón.

SVÉSHNIKO V tiempos que necesita para resguardar a su rey. no puede permitirse perder más tiempos en pre­ Además las blancas deben tratar de abrir líneas. parar el enroque corto.

Era mejor e7 1 1 Aún hay un espeso bosque entre las fuerzas de lll a3 lo mejor es devolver el peón extra; las blancas y el rey enemigo, pero en cuanto se tras 1 l.

b4 1 2 lllac4 'it'xd4 1 3 i. b2 las blancas abran líneas las posibilidades de ataque aumen­ tienen mucho ataque a cambio de los dos peo­ tarán. xb7 'ifxb7 14 'it'xb5. Si Svéshnikov las negras aún no han movido su caballo-b8. cubre ese peón en algún momento con. llld 5, Es posible que Svéshnikov desechara e7 las blancas ganarán gratuitamente un tiempo porque no le hacía gracia defender esta posi­ para su ataque con e4.

ción inferior, pero entonces incurrió en un típi­ 8 'it'b6 co error ajedrecístico: ¡ al tratar de evitar una Las negras defienden su alfil para responder ligera desventaja, termina cayendo en otra ma­ axb5 con. Otra idea es 8.

a6 pero, tras 9 yor! axb5 axb5 1 0 l:. xa8 i. xa8 1 1 lllc 3, las blancas La codiciosa 1 0. Tras 1 1 i. b2 poder desarrollar su flanco de rey.

dS 9 b3! pierde material por 14 'it'xd5! xb7 'it'xal Una jugada muy fuerte que se jugó por pri­ 1 4. a5 a6 16 i. d6 17 i. f3 fa­ mera vez en esta partida. lllxd7 1 7 i. xa8 'it'e5 1 8 'it'a4 'it'c7 las negras mantienen su posición a flote gracias a un inge­ nioso golpe táctico: 19 l:.

d6 20 llla3 ! lllc 5 y las negras se defienden. Ahora el ataque blanco comienza realmente a ganar fuerza. La amenaza inmediata es la rup­ tura central 1 2 d5. Svéshnikov decide que lo más urgente es li­ brarse del dominante caballo-es, pero realmente 11 c5? Abrir la posición suele beneficiar al bando 1 8.

dxe3 d8 xd7 l:. xd7 21 l:. que está más adelantado en el desarrollo. Las Tampoco es satisfactorio 1 3. c4, en vista de 1 4 negras podían haber intentado 1 1. lüd5 1 2 'ii'xb5 'ii'xb5 1 5 axb5 i. de bloqueo en el centro; por ejemplo, 1 3 a5 14 'ii'xa4 'ii'a6 14 i. d2 f5 y no es fácil para las blancas Svéshnikov ha resuelto el problema de las romper en e4.

Sin embargo, no hay muchos ju­ amenazas blancas a su peón-b5, pero a costa de gadores que quisieran sostener una posición soportar una clavada en la diagonal a4-e8 que como ésta, haya peón extra o no.

La dama negra resultará decisiva. Además la apertura de la co­ está fuera de juego en a6, y su rey deambula por lurnna-b permitirá a las blancas ganar un tiem­ el centro.

po al colocar su torre en bl. xd5 por 1 5 lüc3! xg2 1 6 central. ab 1 con. lando otro tiempo a las blancas con i. f4 1 7 Una jugada excelente basada en una exacta �gl l:. abl 'ii'c7 si 1 8. f4, se­ valoración de la posición. Jálifman podía ha­ guido de. b8, las negras deberán entregar la berse quedado con una cómoda ventaja median­ dama e, irónicamente, ni así podrán enrocarse te 1 3 dxc5 i.

xb7 'ii'xb7 1 6 19 l:. e7 20 i. f4 e5 2 1 lüd5 'ii'd6 i. xc5 lüxc5 1 7 'ii'c 3, seguido de 'ii'x g7, pero en 22 l:. es decisivo 20 lüb5 1i'c6 2 1 'ii'a5 'ii' b6 este caso las negras aún dispondrían de posibi­ 22 'ii'a l con posición ganadora para las blan- lidades defensivas.

Sin embargo, Jálifman es cas. consciente de que su posición es tan fuerte que 15 lüc3 no debería conformarse con una modesta ven­ taja, sino jugar por algo más. Mediante la aper­ tura de líneas en el centro se crean nuevas vías para atacar al rey enemigo y, además, al amena­ N zar 14 dxe6, de nuevo no permite que su rival desarrolle su alfil-f8.

El hecho de que esta juga­ da cueste a las blancas un segundo peón no tie­ ne especial relevancia. Jálifman tiene ahora dos peones de menos, pero ha acrecentado su ventaja de desarrollo. Tiene todas sus piezas en juego mientras que a su rival aún le hacen falta dos movimientos para enrocar corto.

Además ha abierto varias líneas: la colurnna-b y la diagonal a4-e8 ya están abier­ tas y si el peón-d5 cae se abrirá también la co­ lurnna-d.

Estas vías dan a las piezas blancas 13 bxa4 buenas posibilidades de lanzarse sobre el de­ Las blancas ganan tras 1 3.

exd5 1 4 lüc3! d4 samparado rey negro, que se encuentra retenido 1 5 a5! xb7 l:. c6; por ejemplo, clavada a la que está sometida su caballo-d7.

PARTIDA 2: A. f4 l:. cS No hay defensa. tc6 1 6 lllxd5! dS d6 2 1 lllxb6 axb6 l S. txaS otorga a las blancas una. xdS 'ifxdS 22 i. gran ventaja material y de desarrollo, y txdS a xd5 16 i. xd5 Este alfil no tiene rival en las casillas blan- Wxa4 17 l:.

xd5 l S lllxd5. d6 19 :ta6! bS 20 l:. d l deja a las negras completamente d8 atadas Svéshnikov sostiene su caballo clavado, pero Quizá 1 5.

jugada del texto. En ese caso las blancas ganan tf4 golpeando en las líneas abiertas de forma temá- tica: 1 6 lllxd5! xc7 lS. xb7 y ahora, tras l S.

l:lbS 19 i. xc5 de nuevo se impide el enro­ que a las negras 1 7. txd5 'ii'xd5 l S l:. fd l 'ii'e6 1 9 l:. todas las líneas abiertas intervienen en esta combinación: la columna-d, la colum­ na-e y varias diagonales xc5 y - ¿lo diré otra vez?

xa7 'ifxaS txdS txc5 l:. eS 25 l:. aS seguido de. b6 23 l:. dS 24 i. xc5 , seguido de i. b6, y las blancas ganan el final de peones tras cambiar todas las piezas en dS en finales de re­ yes y peones con todos los peones en el mismo 18 'iff6 flanco, un peón de ventaja suele ser suficiente Después de 1 S.

para ganar si es un 2 contra 1 , y casi siempre y cae f7 , y si l S. e7, sigue 1 9 i. c6 'ii'b4 20 gana en casos de 3 contra 2 ó 4 contra 3.

clavada que pende sobre su caballo 1 9 l:. tb l No la automática 16 l:. g5 f6 xb6 axb6 l S 'ii'd l l:. xal 1 9 'ii'x al.

xa7 es gana­ vuelve las tomas. dor para las blancas b7 'ifxb7 2 1. d2, seguido de. ta5 , es penoso 22 i. e7 24 l:. xa7 24 l:. Jálifman despeja el camino para que su torre-al penetre en a6 ó a7. td6 Finalmente el alfil mueve, sólo para ser fatal­ mente clavado de inmediato.

Pero 1 9. e7 20 l:. xa7 'ii'b 6 2 1 'ii'xb6 lllxb6 22 i. c7 supondría serias pérdidas materiales, y txdS 1 9.

xa7 i. e7 22 'ii'bs También ganarían las blancas tras 1 6. txg2 ble. Esta segunda clavada decide la partida de in­ 25 'it'd5 mediato. Clavándolo de nuevo.

Ahora se amenaza 26 20 l:tb8. llc 6. Ni mejor ni peor que cualquier otra jugada. Una victoria muy dinámica por parte de Jálifman. Tras ofrecer un peón mantuvo su presión sobre Svéshnikov con una lluvia cons­ tante de amenazas. Cuando las negras declina­ ron la última oportunidad de poner su rey en seguridad ya en el décimo movimiento se ha­ llaron de inmediato en serias dificultades.

Já­ lifman se dio cuenta de la importancia de abrir líneas y se dispuso a ofrecer más material para reforzar su ataque. En los últimos compases de la partida, a los problemas de las negras se sumó una seria debilidad en las casillas blan­ cas.

Las blancas mantienen ambas clavadas. xf6 gxf6 de las partidas. que pesa sobre su caballo. Amenazando 25 �c8. Dom i n io eficaz del centro El tercer objetivo principal de la apertura es obtener control sobre el centro. El centro del tablero es particularmente importante por dos razones.

Para empezar, la mayoría de las piezas despliegan una mayor actividad en el centro; esto es especialmente aplicable a los caballos, pero afecta a todas las piezas, excepto a la torre en mayor o menor grado.

Por ello, si obtenemos el control del centro, au­ tomáticamente nuestras piezas serán más efectivas que las del rival. La segunda gran ventaja de controlar el centro es la flexibilidad. Si nuestras piezas están situadas en el flanco de rey, tendrán poca influencia en el ala de dama.

Esto no supondría un problema si estamos conduciendo un ata­ que en el flanco de rey contra el monarca enemigo, por ejemplo, ya que la acción se desarrolla en ese sector y ahí es donde queremos que estén nuestras piezas.

Sin embargo, si aún no está claro dónde serán necesarias nuestras piezas puede comprometer mucho nuestra posición enviarlas al flanco de rey: el rival podría hacer que no fueran efectivas, por ejemplo enrocando largo, y podría resultar que nuestras piezas estuvieran mejor colocadas en cualquier ot, ra parte.

Si están cerca del centro pueden ser trasladadas fácilmente a un flanco u otro en poco tiempo. Esto nos da más flexi­ bilidad a la hora de decidir dónde atacar, y hace que sea más fácil oponernos a los planes del rival, independientemente de en qué sector actúe.

PARTIDA 3: K. ASÉIEV - N. No obstante, no es fácil definir en qué consiste el control del centro: es algo que se reconoce al verlo, más que al aplicar una fórmula.

Puede consistir en ocupar el centro con peones como en la siguiente partida , pero ya hemos visto anteriormente en la partida 1 que esto no es necesario. En aquella partida las blancas controlaban el centro a distancia con sus piezas, pero el resultado fue igualmente efectivo.

Por regla general, esté o no el centro ocupado por peones, la acción de las pie­ zas es el factor crítico. Un centro de peones sin un apoyo de piezas adecuado probablemente se de­ rrumbe ver partida 4. Por ello el principio general es que las piezas deben desarrollarse de forma que puedan ejercer la máxima influencia posible sobre el centro.

Pa rtida 3 K. Aséiev N. Rash kovski -. Campeona to de Rusia, San Petersburgo Defensa Moderna , Ataque Austríaco. Las blancas liberan a su disputar el centro blanco en absoluto.

dama y a su alfil, y a la vez colocan un peón en 2 d4 el centro. Formando el centro de peones ideal pero. En sus comentarios a la partida Edward Las­ 2 i.. g7 ker-Capablanca, Nueva York 1 , Alekhine Presionando ligeramente d4. En la mayoría escribió sobre 1. g6: "Desde el punto de vista de los casos las negras buscarán incrementar actual de la teoría, esta jugada no puede consi­ esta presión jugando por las casillas oscuras.

derarse completamente válida, ya que las ne­ 3 lllc3 gras se comprometen a un esquema concreto Las blancas deben escoger entre ocupar el sin poder ejercer ninguna influencia sobre el cuadro c3 con su peón-e o con su caballo.

Jugar juego central de su adversario". Sin embargo, 3 c3 refuerza la casilla-d4 y reduce la actividad esto no impidió a Capablanca ganar la partida, del alfil-g7, pero quita al caballo-bl su casilla y en estos tiempos l. g6 denominada "Defen­ más activa; por ello la mayoría de los jugadores sa Moderna" está considerada como una aper­ prefieren la jugada del texto, que es más natu­ tura perfectamente aceptable.

Al jugar l. g6 ral. las negras no pierden, como Alekhine suponía, 3 d6 la posibilidad de jugar en el centro; más bien la De nuevo una jugada por las casillas negras. retrasan hasta que las blancas se hayan compro­ Ésta es una buena preparación para un eventual metido en el centro.

Normalmente la reacción. negra implica. e5, aunque hay algunas 4 f4 variantes en las que las negras juegan. Éste es el sistema más agresivo para las blan­ Es preciso realizar una pequeña advertencia cas contra la Defensa Moderna: formar un gran acerca de la Defensa Moderna.

En muchas aper­ centro de peones, desarrollando las piezas tras turas clásicas, como la Francesa l e4 e6 2 d4 él mediante lll f3, i.. Si las d5 , la estrategia central de las negras va ligada blancas consiguen completar su desarrollo sin a su elección de apertura, mientras que en la que su centro sea atacado, las negras se hallarán Defensa Moderna las negras tienen más liber­ en dificultades; por ello, es esencial para las ne­ tad de elección.

Con esta libertad adicional apa­ gras actuar con rapidez. Existen varias alterna­ rece la responsabilidad extra de asegurar que la tivas a la jugada del texto. Si las con i.. Las blancas también pueden negras se retrasan demasiado y permiten a las adoptar otros sistemas intermedios como 4 i..

g5, que pueden tratarse de forma posicio­ 6. id3 nal o agresiva, dependiendo de la reacción ne­ Ésta es la mejor casilla para el alfil, ya que e4 gra. necesitará apoyo cuando las negras jueguen. ib7 , especialmente si tenemos en cuenta que el caballo-c3 puede ser expulsado median­ te.

ib7 La intención de las negras es arañar el centro blanco con. ll:id7 y. c5, alcanzando quizá más adelante una posición similar a la de una Siciliana tras el cambio.

cxd4 o dxc5 de blan­ cas. Este avance de peón tiene varias virtudes: 1 Impide a las negras desarrollar su caba­ llo-g8 por la casilla natural de f6. pero esto le lleva tres movimientos y da a las 3 Permite un futuro sacrificio de peón en blancas tiempos para sostener su centro.

Es e6. cierto que las negras ganan algo de espacio en Las blancas deben tener cuidado de no pa­ el flanco de dama, pero esto no es compensa­ sarse, pero en vista del juego lento de su rival no ción suficiente por el tiempo perdido.

En par­ parece que haya peligro. tidas de club los jugadores suelen salir bien pa­ Jugadores de talante más posicional preferi­ rados con planes excéntricos de este tipo por­ rían una segunda línea, igualmente prometedo­ que sus rivales no tratan de sacar ventaja de ra: 7 ll:id7 8 ll:ie2.

La idea es responder a ellos, o no saben cómo explotar sus debilida­. c5 con c3, manteniendo intacto el centro de des. En esta partida Aséiev reacciona correc­ peones.

Tras 8. c5 9 c3 ll:igf6 10 ll:ig3, por tamente: completa su desarrollo lo más rápida­ ejemplo, las negras aún no habrán realizado mente posible, poniendo al mismo tiempo el ningún avance real contra el dominio central de máximo de obstáculos al desarrollo negro.

Este su oponente, mientras que las piezas blancas se desliz no es suficiente para que las negras pier­ están reagrupando peligrosamente para un pos­ dan, pero a partir de aquí tendrán que andar con terior ataque al enroque.

mucho cuidado, especialmente si tenemos en cuenta que les hacen falta dos movimientos para enrocar. Las negras disponen de varias alternativas aceptables: 4. ll:if6 traspondría a una apertura similar denominada Defensa Pire 1 e4 d6 2 d4 ll:if6 3 ll:ic3 g6 4 f4 i. g7 sería el orden de juga­ das de la Pire.

Si quieren jugar una Defensa Moderna pura, pueden intentar 4. ll:ic6 ó 4. Todas estas jugadas apuntan al centro, pero 4. a6 no. A Rashkovski le preocupa un posible e6 de 10 las blancas y gasta un movimiento en impedir­ Ambos reyes se enrocan, pero eso es lo único lo, pero esto sencillamente es demasiado lento.

que tienen en común. El blanco está realmente Debió haber continuado con su plan mediante seguro en g 1 , pero el negro aún se encuentra ex­ 7. lt: d7.

La línea crítica sigue 8 c5 9 i. e4 9 puesto en el flanco de rey. La razón es que las exd6 cxd4 no está claro 9. xe4 10 lt: xe4 negras sólo tienen dos piezas menores en ese cxd4 1 1 e6 1 1 exd6 'ii'b6 ofrece contrajuego a sector, mientras las blancas ya tienen allí un al­ las negras l l.

fxe6 1 2 lt: eg5 lt: f8 no se puede fil y dos caballos preparados para actuar. En permitir que el caballo llegue a e6, y 1 2. lt: cS cuanto la dama se les una, los defensores ne­ no es posible por 1 3 b4 1 3 lt: xd4, llegándose a gros tendrán una dura tarea.

una posición complicada en la que las negras 11 'ii'e l tienen un peón de más, pero la disposición de Aséiev aprovecha oportunamente el tiempo sus piezas en el ala de rey es casi cómica.

Yo es­ que tiene reservado. cogería las blancas porque no están claras las 11 a5 perspectivas del caballo de f8, pero es cierto que la posición negra es relativamente sólida. Un movimiento muy instructivo y muy fuer­ te.

Evidentemente, las blancas tienen todos los Una buena jugada. En esencia el plan de las elementos necesarios para un ataque peligroso blancas consiste en atacar por el flanco de rey en el flanco de rey, pero aún les falta bastante mediante , lt: e4 y 'ii'e l -h4. Sin embargo, pri­ para forzar el mate, así que no pueden permitir­ mero se induce a las negras a avanzar su peón a se ignorar el resto del tablero.

Saltar al ataque b4. Así, un posterior 'ii'e l ganará un tiempo, al inmediatamente con 1 2 'ii'h4 sería contraprodu­ atacar el peón-b4. Aunque puede parecer in­ cente. La respuesta sería 1 2. lt: fS y las blancas significante, detalles de este tipo son muy im­ tendrían que retirarse con 1 3 'ii'h 3 si quisieran portantes.

El tiempo que ganan las blancas ace­ continuar con su ataque. Pero la dama está fue­ lera su ataque, y no tiene ninguna desventaja: ra de juego en h3 y es mucho mejor dejarla don­ un tiempo extra a cambio de nada.

de está ahora, hasta que el juego en el flanco de 8 b4 rey ofrezca algo más tangible. Más o menos forzado. No es posible 8. c6 La jugada del texto coloca a las negras en porque después de 9 lt: e4 el caballo llegaría a una situación incómoda. Por un lado, las blan­ d6; por otro lado, 8.

bxa4 destrozaría los peo­ cas estabilizan su centro y lo protegen contra un nes negros del flanco de dama y metería en jue­ posible ataque mediante un eventual.

c5 por go a la torre-al. ejemplo, las negras podrían jugar. xe4 se­ 9 lt: e4 lt: e7 guido de. lt: d7 y. Por otro, se ame­ Prudentemente, las negras aprovechan su naza ganar de inmediato un peón con 1 3 cxb4, oportunidad de alejar a su rey del centro. ninguna defensa natural. bxc3, 1 3 bxc3 trasladar alguna de sus piezas del flanco de abre el camino para un posterior.

Esto dama a la defensa. obligaría a las negras a mover su peón-d6, con 14 h6 lo que aumentaría la influencia del alfil-a3 y se dxe5 1 5 fxe5 no hace ningún bien y sólo despejaría la casilla-c5 para el caballo blanco serviría para que el alfil-e l colaborara en el ata­ de e4.

Estas ventajas darían a las blancas una que. Por ello, las negras tratan de expulsar el ca­ partida virtualmente ganada en el ala de dama, ballo. y no habría ningún ataque en el de rey. sible continuación sería 1 3. txe4 xe4 d5 id3 c5 ia3 tlld7 b5 cxd4 1 8 cxd4, con presión abrumadora en el flanco de dama.

Las negras podrían jugar tllb c6 pero, ahora que d4 está seguro, el ataque blanco podría con­ tinuar con 1 3 tllfg5, de forma similar a la parti­ da.

ia6 Rashkovski juega a simplificar, que es el tí­ pico método para reducir la fuerza de un ata­ que. Aunque consigue eliminar los alfiles, las negras quedan con un caballo fuera de juego en a6, que tendrá poca influencia en el resto de la partida.

txa6 tllxa6 Las negras preferirían jugar 1 3. Jha6, pero A veces es posible conducir un ataque que no pueden porque deben defender b4. Nótese exija pocos cálculos, pero esto no es habitual cómo la maniobra de distracción blanca en el contra una determinada oposición.

Con más flanco de dama con c3 ha forzado a su oponente frecuencia surge un momento crítico en el que a hacer más concesiones posicionales, lo que a se requiere un preciso análisis para que el ata­ su vez mejora las perspectivas de ataque blancas.

que tenga éxito. Ese momento ha llegado, y 14 tllfg5 Aséiev demuestra que está a la altura. La conti­ nuación crítica es txf6 16 exf6 y ahora: l tllc 8 1 7 tllxe6 fxe6 1 8 'ii'e4 gana por la doble amenaza sobre g6 y a8.

tlld5 17 tllxe6! tllf5 1 hxg5 17 fxg5 tllf5 18 g4 traspone 17 g4 hxg5 tras 1 e8 1 9 gxf5 exf5 20 'ii'h4 l:. if4, seguido de l:tf3-h3, ganando. tllc6 1 7 tlle4! la continua­ Las cosas empiezan a tener mala pinta para ción más enérgica, abriendo el flanco de rey y al las negras.

Aséiev dispone de diversas amena­ mismo tiempo activando el alfil-e l 1 8. dxe4 zas; una de las más simples es 1 5 g4, mante­ 1 8. exf5 19 'it'h4 dxe4 ixh6, seguido de niendo al caballo negro alejado de f5, y después.

ig7, y mate 1 9 fxg6 fxg6 1 9. Debido al dominio central 'ii'd6 21 'ii'g4, seguido de. es la variante más instructiva. El material está 19 fxe6 igualado, pero las negras están condenadas por 20 'ii'f2!

sus debilidades posicionales en el ala de dama, Amenazando mate en dos mediante 21 en especial el caballo descolocado en a6. l:tf8 l:tf8 permitiría 2 1. Los caballos blancos muestran una hermosa Aséiev sigue teniendo una posición ganado­ estampa. Para evitar la pérdida de la calidad las ra incluso después de esta jugada, pero al blo­ negras deben entregar su importante alfil defen- quear la columna-f se dificulta la victoria.

Es sor. una pena que se le escapara la siguiente secuen­ tras este caballo siga ahí las negras no tienen es­ La textual amenaza 22 exd6 cxd6 xd6, peranzas de defender su flanco de rey.

seguido de. l:td8 pierde ante 22 'ii'e2 tar que su oponente traslade sus fuerzas de re­ ¡ de nuevo el caballo-a6! tllb 8 23 exd6 serva al ataque, mediante f5.

Tras 1 7. tllg 8 1 8 cxd6 exf5 g5 'ii'c 8 21 l:tf3 l:td8 2 l. h5 torre. Una idea temática. Las blancas no pueden 18 f5! hacer progresos inmediatos en el ala de rey, así El golpe temático, amenazando forzar el mate que pretenden crear preocupaciones a las ne­ mediante 1 9.

Ahora las negras vo que aparece más adelante en la partida. han de tener en cuenta la posibilidad de que las 18 l:th8 blancas abran la columna-e mediante cxb4 o 1 8.

tll xf5 19 l:txf5 exf5 Jugadas preparatorias como ésta no son ma­ así que las negras defienden h6. las, ya que las negras no pueden mejorar su po- 19 fxe6 sición. Ahora que la torre negra se ha visto forzada a 22 c5 abandonar la columna-f es cuando a las blancas Las negras deciden que no pueden quedarse les interesa abrirla.

más tiempo pasivas, y reaccionan pataleando. bxc3 23 lhc3 sería malo para ellas porque ll:lxe5 28 ti'g3 dejaría a las negras inde­ esta torre se trasladaría al ala de rey, con lo que fensas; por ejemplo, ll:lbc6 29 ll:ld7 ll:lxd7 la única alternativa era esperar, por ejemplo 30 l:.

xf8 l:. hxf8 3 1 'fllc 7 ll:lce5 32 c6 o En ese caso las blancas ganarían 29 i. f4 ll:lbc6 30 ll:ld7. mediante 23 cxb4 axb4 o ll:lxb4 24 l:. c3, 28 l:. h3 seguido de l:.

h3 24 Ji. d2, donde no hay modo Amenazando el viejo truco 29 i. Parando la amenaza, pero cediendo la casi- 23 dxc5 lla-h5 y abriendo la diagonal bl -h7.

Las blancas capturan y retienen el peón. ll:lc6 24 Ji. e3, seguido de. ll:lxe5 perdería de tiempo, y repite movimientos para acercarse inmediatamente por al control de tiempo de la jugada 40 en nues­ 24 g4 tros días el ritmo de juego estándar en competi­ ¡ De nuevo a la carga!

ciones internacionales es de 2 horas por jugador 24 ll:le7 para los primeros 40 movimientos. Al provocar g4, las negras han evitado al me­ 32 i. ningún caso ofrece esperanzas.

d2 ll:lxb4 33 :f3. a7 34 c6 l:. c7 ll:lxc6 Con la amenaza de cambiar en b4 y luego 35 l:. xf7 Bloqueando el peón-e, pero ahora se echará 33 'ii'c2 de menos a este caballo en el enroque. f6 l:. af8 30 'ii'e 3, y h6 cae.

e3 trasladarse al flanco de rey para asestar el golpe El caballo no puede moverse porque debe de gracia. proteger g6, así que todo ha terminado para las 27 'ife7 negras. PARTIDA 4: J. VAN DER WIEL - R. VAGANIÁN No vale Cuando Rashkovski se vio obligado a cambiar 37 'ii'c3 su alfil de casillas negras el final estaba ya cer­ No 37 'ii'b l?

cano debido a sus debilidades endémicas en ese 37 ll:ixg4 complejo de casillas. Aunque a Aséiev se le es­ 38 l:txe6 capó la victoria más rápida, era sólo cuestión de Si Las enseñanzas a extraer de esta partida En esta partida Aséiev castigó severamente a son: su rival por sus libertades en la apertura 4.

l El control del centro es un objetivo im­ y especialmente 7. E l modo e n que fue portante en la apertura. elaborando su ataque es digno de mención: pri­ 2 No es prudente dejar al rival las manos mero estableció en el centro una cuña de peones demasiado libres en el centro.

bien apoyada c3-d4-e5-f4 y luego comenzó a 3 Un centro bien apoyado es a menudo la trasladar sus piezas al flanco de rey.

Al mismo semilla de un ataque contra el rey en un flanco. tiempo mantuvo los ojos abiertos para crear al­ 4 Un caballo firmemente instalado en la gunas preocupaciones adicionales a las negras sexta fila suele ejercer un efecto paralizante so­ en el otro flanco por ejemplo, jugando.

ta3 o bre las fuerzas enemigas. El centro de peones sobreexpa ndido A l ocupar e l centro con peones e n l a apertura, u n jugador está asumiendo una cierta responsabi­ lidad.

Si puede mantener intacto el centro de peones y sostenerlo adecuadamente con piezas, pro­ bablemente obtenga ventaja. Sin embargo, si el apoyo al centro es insuficiente, ese centro se de­ rrumbará como un castillo de naipes en cuanto reciba un golpe.

La causa más común de un pobre apoyo de piezas es la falta de desarrollo. Construir un centro de peones consume un cierto número de tiempos que no pueden usarse a la vez para desarrollar las piezas.

Por ello, es natural que un gran centro de peones vaya de la mano de un pobre desarrollo. La cuestión es si el oponente tiene forma de explotar rápidamente la falta de desarrollo, ya que de otra forma el dueño del centro completará su desarrollo y obtendrá ventaja. A menudo es extremadamente difícil juzgar cuál será el resultado de una lucha de este tipo.

De hecho, existen sistemas de apertura basados completamente en permi­ tir al rival construir un gran centro de peones; incluso tras décadas de análisis nadie sabe si algunos de estos sistemas son correctos.

En la siguiente partida las negras adoptan precisamente un planteo de este tipo. Las blancas construyen su centro como estaba previsto, y el combate está servido. Pa rtida 4 J. va n der Wiel R. Ter Apel Defe nsa Alekh i n e , Ataq u e de los Cuat ro Peo n es.

Mediante el ataque al peón-e se Para comentarios a este movimiento, ver par­ restringen las opciones de las blancas. Las úni­ tida 3. cas jugadas naturales aquí son 2 ll:ic3 y 2 e5. Sin 1 ll:if6 embargo, 2 ll:ic3 permite a las negras, como mí­ Ésta es una de las respuestas más directas a l nimo, trasponer a una inocua apertura de peón e4, en la que el plan negro está claro desde la de rey jugando 2.

Vienesa, se suele llegar tras el orden l e4 e5 2 lllc 3 lllf6. Así pues, la única forma real de po­ ner a prueba el movimiento negro es 2 e5. A primera vista no parece que las blancas deban tener dudas en avanzar su peón, ya que no sólo se gana espacio en el centro sino que aparente­ mente se gana tiempo, pues las negras deben mover de nuevo su caballo.

Pero la base de la idea negra es que para sostener al peón avanza­ do de e5 su rival tendrá que realizar más movi­ mientos de peón, al menos d4. En esta partida las blancas deciden ir hasta el final y juegan también c4 y f4.

Esto les da un gran centro, pero mientras tanto se quedan retrasadas en el desa­ rrollo. Como dijimos en la introducción a esta Ya conocimos a John van der Wiel en la par­ partida, es muy difícil decir si el centro se man­ tida 1 y estamos familiarizados con su estilo tendrá fuerte o se derrumbará: de hecho, la De­ agresivo y directo.

Aquí adopta la línea más fensa Alekhine ha sido objeto de debate teórico ambiciosa, pero a la vez una de las más arries­ durante unos 80 años, sin que se haya llegado a gadas contra la Defensa Alekhine, el denomi­ ninguna conclusión definitiva.

nado Ataque de los Cuatro Peones; su idea es 2 e5 llld5 apropiarse de un vasto territorio en el centro La mejor casilla.

lbe4 sería demasiado con la esperanza de desarrollar las piezas tras provocadora; después de 3 d4 el caballo está va­ él, mediante lbc3, lllf3,. e3, etcétera. rado en e4. Las blancas apoyan su peón avanzado a la Las negras se preparan para presionar sobre el vez que se reservan la opción de seguir hosti­ peón-d4.

Se define y estudia como principal concepto de equilibrio el equilibrio bayesiano perfecto en subjuegos. Se concluye con tres secciones de carácter avanzado, en las que se definen los refinamientos del equilibrio de Nash para juegos en forma extensiva, se introducen los juegos de señalización y se estudia el modelo de señalización de Spence.

Prólogo xi El Capítulo 7 presenta los juegos repetidos. En él se aborda con detenimiento, en un contexto de información completa, la interacción repetida de un mismo juego, tanto en el caso de un número finito como de un número infinito de etapas, y se intenta dar respuesta a la cuestión: ¿bajo qué condiciones puede sustentarse como equilibrio equilibrio de Nash o equilibrio de Nash perfecto en subjuegos en un juego repetido un comportamiento cooperador?

La cuestión anterior se analiza especialmente en los casos del dilema del prisionero repetido y del oligopolio de Cournot repetido. Por último, el Capítulo 8 concluye el libro presentando una introducción detallada a los juegos cooperativos.

Se estudia un primer concepto de solución, el Core, y algunas de sus propiedades. A continuación se estudia el Nucleolus, un refinamiento del Core. Finalmente se estudia un concepto con importantes aplicaciones a la justicia distributiva, el valor de Shapley.

En cuanto a la elección de los contenidos y al estilo expositivo, se han intentado alcanzar algunos equilibrios que nos parecen básicos. El primer equilibrio se refiere a la búsqueda de una proporción razonable entre teoría, ejemplos y aplicaciones.

Se han tratado con detalle algunas aplicaciones convencionales de la Teoría de Juegos a la economía, pero se ha hecho también hincapié en la comprensión y manejo de los conceptos a través de ejemplos sencillos, posibilitando el estudio de nuevas aplicaciones a la economía y a otras disciplinas.

Otro equilibrio importante tiene que ver con que se dé un énfasis mayor o menor a la exposición formal o a la exposición intuitiva de los conceptos. En este aspecto, el libro se sitúa en un punto intermedio entre los libros que motivan e ilustran con muchos ejemplos pero no entran en formalización matemática y los que son puramente matemáticos.

La idea que nos ha guiado es: motivar, ilustrar con muchos ejemplos y aplicaciones sobre todo de Economía , pero cuando se llega a un concepto definirlo formalmente en términos matemáticos, y cuando se llega a un resultado formularlo y demostrarlo en términos matemáticos, explicando claramente lo que se va haciendo.

Con respecto a la presentación más o menos detallada de los conceptos e ideas, hemos preferido en general, basándonos en nuestra experiencia docente, una elaboración minuciosa y progresiva de los conceptos, con ayuda de baterías de ejemplos, aun a riesgo de resultar reiterativos en alguna ocasión.

Aunque nadie sabe como el profesor de un determinado curso las posibilidades y las necesidades de sus alumnos, y en consecuencia el mejor modo de utilizar un libro de texto, sí puede merecer la pena comentar las dificultades de este texto y los requisitos de formación que en consecuencia son necesarios para estudiarlo.

Para comprender sin dificultades los distintos conceptos y técnicas que se presentan en este libro son necesarios un conocimiento básico de la teoría de la optimización y de la teoría de la probabilidad.

En efecto, la capacidad de identificar y calcular óptimos es básica, ya que el concepto más importante y más utilizado del libro, el equilibrio de Nash, exige por definición un comportamiento optimizador en todos los jugadores.

Por otra parte, el manejo de probabilidades condicionadas es básico para la comprensión y uso del equilibrio bayesiano, y el manejo de distribuciones de probabilidad continuas y discretas es necesario en cualquier aplicación de dicho concepto, en particular en las subastas.

También es inevitablemente necesaria para un aprovechamiento satisfactorio del libro, como es natural, una cierta madurez matemática para comprender razonamientos matemáticos tanto en forma intuitiva como formal. En nuestra opinión, la formación Formas de representación de un juego En este primer capítulo nos centraremos en las distintas formas de representación de un juego, imprescindibles para la comprensión del resto de los capítulos del libro.

Se comienza por explicar qué situaciones caen en el ámbito de la teoría de juegos, se comenta brevemente cuándo surge la disciplina que nos ocupa y se introduce una primera clasificación de los juegos, así como la terminología básica.

En el segundo apartado se tratan las preferencias y se estudia el concepto de función de utilidad ordinal correspondiente a una relación de preferencia. En el tercer apartado se estudia la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern, que nos va a permitir comparar loterías o distribuciones de probabilidad definidas sobre resultados posibles, y se estudian las distintas actitudes ante el riesgo.

Posteriormente, en los tres siguientes apartados se estudian tres formas diferentes de representación de juegos: extensiva, estratégica y coalicional, respectivamente.

Son muy conocidos los llamados juegos de mesa como el póker y el ajedrez, los juegos deportivos como el fútbol o tenis, o más recientemente, los juegos de computador.

Suelen tener varios jugadores, pero a veces basta con uno por ejemplo, el solitario y muchos juegos de computador. En estos juegos, cada jugador intenta conseguir el mejor resultado posible maximizar su utilidad , pero teniendo en cuenta que el resultado del juego no depende sólo de sus acciones, sino también de las acciones de los otros jugadores.

Es esta característica de los juegos —tomar las decisiones que más convengan para ganar, teniendo que cumplir las reglas del juego, y sabiendo que los demás jugadores también influyen 2 Teoría de juegos en los resultados con sus decisiones— la que más valor tiene para su estudio sistemático, ya que muchas situaciones de interés para la economía y para otras ciencias como biología, sociología o ciencia política , y que nada tienen que ver con los juegos arriba mencionados, comparten con ellos esa característica.

La teoría de juegos se ocupa del análisis riguroso y sistemático de esas situaciones. Así pues, la teoría de juegos podría llamarse teoría de la decisión interactiva, que es diferente de la teoría de la decisión individual.

Aunque la teoría de juegos no se interesa especialmente por los juegos corrientes, sí los usa como ejemplos aclaratorios y toma de ellos gran parte de su terminología. El campo de estudio de la teoría de juegos es muy general. No es preciso que haya entretenimiento, pero sí interacción.

Aunque las aplicaciones mejor estudiadas de la teoría de juegos suponen que los jugadores son agentes personas, empresas, gobiernos, etc. racionales su capacidad de razonamiento y de cálculo para identificar las acciones y estrategias que les conducen a resultados más deseables, es infinita , en otros casos los jugadores no necesitan ser personas ni grupos de personas pueden incluso ser programas de computador o minúsculos seres vivos , y tampoco necesitan ser racionales.

En economía se estudian a menudo situaciones de decisión individual, en las que el agente intenta maximizar su utilidad, sin importar lo que hagan otros.

Por ejemplo: a Elección de cantidades de cada bien a comprar por parte de un consumidor. Se suponen dados los precios de los bienes, así como la renta del consumidor.

b Elección de cantidades de un bien a producir por parte de una empresa precioaceptante. Se suponen dados los precios del bien y de los factores de producción y conocida la función de producción. c Elección del precio de un bien por un monopolista.

Se suponen dados los precios de los factores de producción y la curva de demanda de dicho bien y conocida la función de producción. Sin embargo, hay muchas otras situaciones en que la utilidad del resultado final no depende sólo de la acción del agente, sino también de las acciones de otros agentes.

Ejemplos: añ Elección por la empresa A de la cantidad a producir de un bien o del precio de dicho bien, si también lo produce la empresa B, y ninguna más duopolio. Los resultados finales para la empresa A dependen no sólo de sus propias decisiones, sino también de las decisiones de la empresa B.

bñ Elección por una empresa de automóviles de un nivel de gasto en publicidad. Las consecuencias finales de dicho gasto dependen del gasto realizado en publicidad por las empresas competidoras. cñ Elección por un coleccionista de su puja cantidad de dinero que ofrece en la subasta de un cuadro.

Los resultados consigue o no que le adjudiquen el cuadro subastado dependen también de la puja de los otros participantes. Incluso ocurre a menudo que el planteamiento según el cual no importa lo que hagan otros agentes, es una simplificación de la realidad. Por ejemplo, la utilidad final de la decisión del monopolista de producir q unidades, depende también de los precios de los bienes sustitutivos, y esos precios son el resultado de acciones de otros agentes.

Formas de representación de un juego 3 Muy breve historia de la Teoría de Juegos Suele considerarse que el nacimiento de la teoría de juegos como disciplina ocurre en con la publicación de Game Theory and Economic Behaviour de Von Neumann y Morgenstern, aunque hay trabajos anteriores como los de los matemáticos Zermelo , Borel y del propio Von Neumann , en los que ya se anticipaba parte de las bases de la Teoría de Juegos.

También son de destacar los trabajos pioneros de economistas como Cournot y Edgeworth Von Neumann y Morgenstern establecen las bases de lo que actualmente se conoce como Teoría de Juegos clásica, proporcionando una solución para juegos de suma cero aquellos en los que los jugadores se encuentran en conflicto absoluto y estableciendo los fundamentos para el análisis de juegos con más de dos jugadores.

En este sentido, crean una teoría unificada y sistemática que incluye como casos particulares las aportaciones anteriores, y que hace factible su desarrollo posterior.

Ya en los años cincuenta, Nash aporta algunos de los conceptos más importantes equilibrio de Nash y solución de negociación de Nash para una gama más amplia de juegos no sólo para aquellos que modelizan el conflicto puro , y en los años setenta investigadores como Selten en los juegos dinámicos y Harsanyi en los juegos con información incompleta desarrollan los conceptos que permitirán la aplicación fructífera de la teoría de juegos a la economía y otras disciplinas.

En años recientes, la teoría de juegos ha recibido un gran respaldo académico, al recibir el Premio Nobel de Economía algunos de sus pioneros y practicantes en Nash, Selten y Harsanyi, y en Vickrey y Mirlees. El lector interesado en la historia del nacimiento y primeros años de la teoría de juegos puede consultar el artículo de Rives y el libro de Poundstone Asimismo aparece mucha información interesante en los libros de McRae y Nasar que son biografías de Von Neumann y Nash, respectivamente.

Aunque todavía persisten algunas polémicas sobre los fundamentos, la relevancia y la metodología de esta disciplina, sus métodos y conceptos se aplican con éxito a otros campos aparte de la economía, como la biología ¡no es preciso que los jugadores sean humanos! Tipos de juegos Cabe distinguir dos tipos básicos de juegos, o dicho de otro modo, dos enfoques básicos en el análisis de un juego, cooperativos y no cooperativos.

En el enfoque cooperativo se analizan las posibilidades de que algunos o todos los jugadores lleguen a un acuerdo sobre qué decisiones va a tomar cada uno, mientras que en el enfoque no cooperativo se analiza qué decisiones tomaría cada jugador en ausencia de acuerdo previo.

Entre los juegos no cooperativos cabe hacer dos distinciones básicas, juegos estáticos o dinámicos, y juegos con o sin información completa.

En los juegos estáticos los jugadores toman sus decisiones simultáneamente o dicho de manera más precisa, cada jugador decide sin saber qué han decidido los otros , mientras que en los dinámicos puede darse el caso de que un jugador conozca ya las decisiones de otro antes de decidir.

En los juegos con información completa, todos los jugadores conocen las consecuencias, para sí mismos y para los demás, del conjunto de decisiones tomadas, mientras que en los juegos con información incompleta, algún jugador desconoce alguna de esas consecuencias. Jugadores Son los participantes en el juego que toman decisiones con el fin de maximizar su utilidad.

Son dos o más. Acciones de cada jugador Son las decisiones que puede tomar cada jugador en cada momento en que le toque jugar. El conjunto de acciones de un jugador en cada momento del juego puede ser finito o infinito.

Resultados del juego Son los distintos modos en que puede concluir un juego. Cada resultado lleva aparejadas unas consecuencias para cada jugador. Pagos Cada jugador recibe un pago al acabar el juego, que depende de cuál haya sido el resultado del juego.

El significado de dicho pago es la utilidad que cada jugador atribuye a dicho resultado, es decir, la valoración que para el jugador tienen las consecuencias de alcanzar un determinado resultado en el juego. Perfiles de estrategias Una estrategia de un jugador es un plan completo de acciones con las que éste podría proponerse participar en dicho juego.

Un perfil de estrategias es un conjunto de estrategias, una por cada jugador. Forma estratégica y forma extensiva Son formas de describir un juego. Ambas especifican los jugadores, las acciones y los pagos.

La forma estratégica o forma normal organiza la descripción en forma rectangular, centrando su énfasis en las estrategias de los jugadores como si éstos fueran capaces de tomar todas sus decisiones de una vez , mientras que la forma extensiva lo hace en forma de árbol, resaltando la secuencia del juego, es decir, la manera en que se desarrollan o podrían desarrollarse las acciones de los jugadores para alcanzar los posibles resultados del juego.

En el Apartado 1. A continuación se presentan dos juegos muy sencillos que ilustran los términos introducidos. Formas de representación de un juego 5 Ejemplo 1. Dos individuos, a los que denominaremos Jugador 1 J1 y Jugador 2 J2 , eligen de manera simultánea entre pares P o nones N.

Si los dos eligen lo mismo J2 tiene que pagar a J1 la cantidad de 5 euros. Si los dos eligen cosas distintas es J1 el que tiene que pagar 5 euros a J2. Por tanto, cada uno ha de tomar una decisión sin conocer la tomada por el otro, pero sabiendo que son ambas decisiones consideradas conjuntamente las que afectan al bienestar de cada uno de ellos.

Toda la información relevante la podemos resumir en la siguiente tabla: Jugador 2 P P Jugador 1 N 5,. Dos jugadores toman sus decisiones de un modo secuencial. En primer lugar el Jugador 1 elige entre I, C y D. Si elige I se termina el juego y se alcanzan unos pagos de 2 y 0 donde el primer número indica la ganancia del Jugador 1 y el segundo la del Jugador 2.

Si elige C, entonces el Jugador 2 tiene la oportunidad de elegir entre i alcanzándose unas ganancias de 4 y 7 o d con ganancias de 1 y 2.

Finalmente, en caso de que el Jugador 1 elija D, le toca el turno al Jugador 2 que puede elegir de nuevo entre las alternativas i y d pero alcanzándose en este caso unas ganancias para los jugadores de 5 y 4 con i, o de 1 y 3 con d.

Hay cuatro perfiles de estrategias que son P, P , P, N , N, P y N, N , cada uno de los cuales lleva a uno de los resultados del juego. El significado de las estrategias de J2, por ejemplo d-i, es el siguiente: «Jugar d si J1 juega C y jugar i si J1 juega D».

Hay 12 perfiles de estrategias, cada uno de los cuales conduce a un resultado del juego. FUNCIONES DE UTILIDAD. UTILIDAD ORDINAL Sea X un conjunto de alternativas posibles, mutuamente excluyentes, entre las que debe elegir un agente que puede ser un individuo, una familia, una empresa, un equipo de baloncesto Ɑ , llamada relación de preferencia, de En X suponemos definida una relación binaria V Ɑ y quiere decir que la alternativa x es preferida o indiferenmanera que, para x, y à X, x V te a la alternativa y.

Ɑ se definen otras dos relaciones, de la siA partir de la relación de preferencia V guiente forma: Formas de representación de un juego 1. La relación de indiferencia, V: xVy á Ɑ y, y también y V Ɑx xV que se lee «x es indiferente a y».

Ɑ es racional, en el sentido que recoge la siSe supone que la relación de preferencia V guiente definición. Definición 1. Completitud: O x, y à X, se tiene que x V Ɑ y e yV Ɑ z, entonces, x V Ɑ z. Transitividad: O x, y, z à X, si x V La propiedad de completitud significa que, dadas dos alternativas cualesquiera x e y, son comparables entre sí, en el sentido que es preferida x, es preferida y o son indiferentes.

A menudo puede ser conveniente para simplificar expresiones y argumentaciones asignar a cada alternativa en X un número, de manera que números más altos indiquen alternativas más deseadas.

En ese caso la función U que asigna números a alternativas función de utilidad del agente sobre X puede ser cualquiera que «respete» las preferencias del agente. Se dice que dicha función U es compatible con dichas preferencias, o que es una representación de éstas.

preferencia V También se dice en este caso que U mide las utilidades que dicho agente atribuye a las alternativas de X en una escala ordinal. Veamos algunos ejemplos de preferencias y utilidades ordinales. Ejemplo 1. Supongamos que nuestro agente prefiere estrictamente C a B y B a A.

a la última podríamos llamarla normalizada, porque asigna utilidad 0 a la opción menos preferida y utilidad 1 a la más preferida. Se trata, por tanto, de un conjunto de consumo para dos bienes.

Por ello, bastaría con la información que suministra la utilidad ordinal para resolver el problema de elección óptima de un vector a, b de cantidades de A y B, por parte de un consumidor que dispone para ello de un presupuesto fijo.

Definimos en X la siguiente relación de preferencia. En definitiva, todas las funciones son crecientes. Condiciones de existencia y de unicidad de una función de utilidad Veamos en primer lugar una proposición que nos da condiciones necesarias que debe cumplir una relación de preferencia para que pueda ser representada por una función de utilidad.

Formas de representación de un juego 9 Proposición 1. Demostración: Ɑ , enVeamos que si existe una función de utilidad que representa las preferencias V Ɑ debe cumplir las propiedades de completitud y transitividad.

En efecto: tonces V Ɑ. Para Completitud. Sea la función de utilidad U compatible con la relación V cada x, y à X, se tiene que U x y U y à R. Por tanto, se tiene que cumplir que Ɑ y , o bien que U y n U x lo que implica U x n U y lo que implica que x V Ɑ x , por lo que la relación de preferencia cumple la propiedad de completitud.

Veamos que entonTransitividad. Supongamos que x V Ɑ z. En efecto: ces x V Ɑ y á U x n U y xV Ɑ z á U y n U z yV Como el orden en los números reales verifica la propiedad transitiva se tiene que Ɑ z.

U x n U z , por lo que x V Cabe preguntarse si será cierto el recíproco, es decir, si toda relación de preferencia racional puede ser representada por una función de utilidad. La respuesta, en general, es no, como veremos posteriormente con un contraejemplo.

Sin embargo, si el conjunto X es finito sí se cumple que toda relación de preferencia racional puede ser representada por una función de utilidad, como recoge el siguiente teorema. Teorema 1. Si las preferencias de un agente sobre X son racionales completas y transitivas , existe una función U de X en R compatible con tales preferencias, es Ɑ y.

Demostración: Demostraremos el teorema en dos etapas. En primer lugar supondremos que nunca hay indiferencia entre dos elementos distintos de X. Posteriormente extenderemos el razonamiento al caso general.

El conjunto X está formado por n elementos. Suponemos que entre dos elementos distintos cualesquiera de X siempre hay preferencia estricta hacia uno de ellos. Se trata de una función de utilidad compatible con la relación de preferencia pues xi Ɑ xj á ibj á U xi b U xj Supongamos ahora que V es cualquier función de utilidad compatible con la relación de preferencia.

Extendamos el razonamiento anterior al caso general. Entre los n elementos de X, tomemos un representante de cada clase de elementos indiferentes entre sí. Sean x1, x2, U es una función de utilidad compatible con la relaⱭ. f es una función f : {1, 2, Se puede interpretar X como el conjunto de consumo de dos bienes para un agente económico.

Vemos que el conjunto X no es finito, por lo que no es aplicable el Teorema 1. En este caso el bien 1 de consumo tiene la prioridad más alta en la determinación del orden de preferencia, tal como ocurre con la primera letra de una palabra en el orden en que aparece en un diccionario.

Cuando la cantidad del bien 1 en las dos cestas de bienes coincide, entonces es la cantidad del segundo bien la que determina el orden de preferencia del consumidor. Es fácil comprobar que la relación de preferencia lexicográfica verifica las propiedades de completitud y transitividad, por lo que es una relación racional.

Proposición 1. La relación de preferencia lexicográfica en X no es representable mediante ninguna función de utilidad. Demostración: Demostramos la proposición por reducción al absurdo. Supongamos que existe U : X r R, función de utilidad compatible con la relación de preferencia lexicográfica.

Como U x1, 2 y U x1, 1 son números reales, existe un número racional r x1 tal que U x1, 2 b r x1 b U x1, 1 Sea xñ1 con x1 b xñ1. Se verifica que r x1 b r xñ1 , ya que r x1 b U x1, 1 b U xñ1, 2 b r xñ1 Por tanto tenemos definida una función r:RrQ x r r x en donde Q es el conjunto de los números racionales.

Dicha función es inyectiva, ya que x1 Ç xñ1 ú r x1 Ç r xñ1. Pero esto nos lleva a contradicción ya que el conjunto de los números reales que es el dominio de la función es un conjunto infinito no numerable, mientras que el conjunto de los racionales que es el conjunto final de la función r es infinito numerable, lo cual es matemáticamente imposible para una función inyectiva.

A continuación veremos en qué condiciones se puede asegurar la existencia de una función de utilidad compatible con una relación de preferencia en conjuntos de consumo de un número dado finito de bienes.

Ɑ una relación de preferencia en X. Sea V 12 Teoría de juegos Definición 1. Para cada n se tiene que xn Ɑ yn. La demostración del teorema se encuentra en MasColell, Whinston y Green Entonces existe una mo. Sea V función de utilidad continua U x1, x2, cia V Proposiciones con significado sobre una función de utilidad ordinal Concluyamos esta sección insistiendo en que sólo tienen significado aquellas proposiciones acerca de una función de utilidad U cuya verdad o falsedad no se altera al sustituir U por una transformación estrictamente creciente de U.

Veamos algunos ejemplos: — «A produce mayor o menor, o igual utilidad que B» tiene sentido. ACTITUDES ANTE EL RIESGO Si bien para algunas aplicaciones es suficiente con disponer de una información ordinal de las utilidades de un agente, en general dicha información es insuficiente.

Por ejemplo, supongamos que en el Ejemplo 1. La información ordinal disponible no nos permite responder a esa pregunta. Es preciso, por tanto, definir un tipo de escala de utilidad en la que preguntas como la anterior puedan responderse con naturalidad. En esta sección definiremos la escala de utilidades de Von Neumann-Morgenstern, que es la más sencilla de entre las que permiten definir las preferencias de un agente, no sólo entre opciones puras ciertas o seguras sino también entre loterías o distribuciones de probabilidad definidas sobre dichas opciones puras.

Loterías Supongamos que un agente debe elegir una entre varias alternativas, siendo conocidas de manera objetiva las probabilidades asociadas a las alternativas. En estas condiciones, en teoría de la decisión se dice que estamos en un contexto de elección en ambiente de riesgo.

Suponemos, por tanto, que dicho conjunto es finito este supuesto lo hacemos para evitar la excesiva complicación del desarrollo posterior. En una lotería simple, los resultados que se pueden obtener son ciertos los elementos del conjunto X.

En una forma más general de lotería, llamada lotería compuesta, los resultados que se pueden obtener son loterías simples, tal como se define a continuación. Dada la lotería compuesta L1, L2, j2 p2i!

jmLm Ejemplo 1. Ɑ sobre LX, que cumple Se supone que el decisor tiene una relación de preferencia V las propiedades de completitud y transitividad. Por tanto, suponemos que la relación de Ɑ es racional. A continuación se definen otras propiedades a considerar en la preferencia V Ɑ sobre LX.

relación de preferencia V Definición 1. j } {j à [0, 1]: Lññ V son cerrados. La propiedad de continuidad significa que pequeños cambios en las probabilidades no producen cambios en el orden entre dos loterías. j L, Lññ; j, 1. j V Función de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern A continuación se define el concepto de función de utilidad esperada de Von NeumannMorgenstern.

Posteriormente se enuncian y demuestran dos proposiciones en las que se presentan importantes propiedades de dichas funciones de utilidad y finalmente se enuncia el teorema de la utilidad esperada.

u2 p2! un pn La siguiente proposición da una condición necesaria y suficiente para que una función con dominio en LX que toma valores en R sea una función de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern. jm pm i. p2 0, 1, pn 0, 0, rrespondiente a la relación de preferencia V V: LX r R es otra función de utilidad esperada Von Neumann-Morgenstern corresⱭ.

b, para cada L à LX. Demostración: ú Sean U y V funciones de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern definiⱭ. b, para cada L à LX Por ser U función lineal, es continua. El conjunto LX es cerrado y acotado. Supongamos que L1 Ɑ L.

Sea L à LX. Vemos que podemos encontrar aL à [0, 1], tal que L V aLL1! b, para cada L à LX, siendo U una función de utilidad esperada de Von Neumann-MorⱭ. Veamos que V es otra función de utilidad esperada de genstern correspondiente a V Von Neumann-Morgenstern.

Sean m L1, L2, Además, por ser U una representación de V cumple que Ɑ Lñ LV á U L n U Lñ á aU L! b á V L n V Lñ A continuación se enuncia el teorema de existencia de la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern.

La demostración del teorema se puede consultar en Mas-Colell, Whiston y Green Formas de representación de un juego 19 Teorema 1. Entonces V admite una representación en forma de utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern.

Es decir, existen n valores reales u x1 , u x2 , Cabe entonces considerar loterías representadas por funciones de densidad o por funciones de distribución. Así, sea una lotería en R caracterizada por una función de densidad f.

Sea LX el conjunto de todas las funciones de densidad en R. ä siendo u: R r R tal que u x es la utilidad de la cantidad monetaria segura x, por lo que se supone que la función u es creciente y continua.

Si la lotería en R se caracteriza por una función de distribución F, puede representar tanto distribuciones de probabilidad discretas como continuas en R.

LX será el conjunto de todas las funciones de distribución en R. ä En cualquiera de las representaciones, se cumple también el teorema de la utilidad esperada siempre que se cumplan las hipótesis del Teorema 1. En lo que sigue, y mientras no anunciemos explícitamente otra cosa, supondremos que las preferencias de los agentes cumplen las condiciones del Teorema 1.

Vamos a calcular el valor esperado de L y comparar la utilidad esperada con la utilidad del valor esperado. Suponemos que la función de utilidad u de un agente cualquiera es estrictamente creciente prefiere una renta mayor a una renta menor. Si u es diferenciable, la suposición anterior significa que uñ x b 0, para todo x à R.

Decimos que un agente es averso al riesgo en el intervalo [a, b] si el valor esperado de cualquier lotería en [a, b] es al menos tan preferido como dicha lotería. Si la lotería es al menos tan preferida como su valor esperado, decimos que es propenso al riesgo o amante del riesgo.

Y si es indiferente entre ambas opciones, decimos que es neutral al riesgo. Formas de representación de un juego 21 Teorema 1. El agente es: Averso al riesgo en [a, b] si y sólo si uññ x m 0, para todo x de [a, b], es decir, si u es cóncava en [a, b]. Propenso al riesgo en [a, b] si y sólo si uññ x n 0, para todo x de [a, b], es decir, si u es convexa en [a, b].

Demostración: Sean x1, x2, pnxn que es precisamente la utilidad del valor esperado es mayor o igual que p1u x1! p2u x2! pnu xn que es precisamente la utilidad esperada de la lotería L. Si u es dos veces diferenciable, un conocido teorema del cálculo diferencial asegura que la función u es cóncava en [a, b] si y sólo si uññ x m 0, para todo x de [a, b].

Por tanto, uññ x m 0 para todo x de [a, b] si y sólo si para el agente el valor esperado de cualquier lotería es al menos tan preferido como la lotería, es decir es averso al riesgo en [a, b].

Análogamente, uññ x n 0 para todo x de [a, b] si y sólo si el agente es propenso al riesgo en [a, b]. pnxn , que es la utilidad del valor esperado de L, es igual a p1u x1!

pnu xn , que es la utilidad esperada de L. Observación 1. La función de utilidad de un agente neutral al riesgo es lineal. La función de utilidad de un agente averso propenso al riesgo es cóncava convexa. Consideremos los tres agentes del Ejemplo 1. Veamos que se confirman para cualquier lotería.

El primer agente prefería el valor esperado antes que la lotería. Es averso al riesgo en [0, ä] Al segundo agente le daba igual el valor esperado que la lotería. Es neutral al riesgo en [0, ä] El tercer agente prefería la lotería antes que el valor esperado.

Es propenso al riesgo en [0, ä] Prima de riesgo En términos intuitivos, es la cantidad que un agente averso al riesgo está dispuesto a pagar para librarse del riesgo.

z0 valor esperado menos equivalente cierto. Visualización gráfica Figura 1. z es la prima de riesgo de L. Calculemos sus equivalentes ciertos y sus primas de riesgo. El equivalente cierto de L para un agente neutral al riesgo es igual al valor esperado. El equivalente cierto de L para un agente averso propenso al riesgo es menor o igual mayor o igual que el valor esperado.

La prima de riesgo de L para un agente neutral al riesgo es nula. La prima de riesgo de L para un agente averso propenso al riesgo es mayor o igual a cero menor o igual a cero. No es casualidad que los pagos que un cliente realiza por una póliza de seguros de automóvil, de incendios, etc.

se llamen primas. Las definiciones siguientes intentan cuantificar las ideas anteriores, de modo que sea posible comparar la aversión o propensión al riesgo de dos agentes cualesquiera.

La idea intuitiva es que la curvatura de la función de utilidad de un agente, medida por su derivada segunda, nos informa del grado de aversión al riesgo de dicho agente. Se supone que u es dos veces diferenciable en [a, b]. xuññ x uñ x Proposición 1.

En ese caso es neutral al riesgo. d, siendo c b 0, donde a b 0. d, siendo c b 0, donde a a 0. c b Veamos cada una de las dos implicaciones. ax, en donde C es una constante positiva.

uñ x c Se demuestra de manera análoga a b. Algunos comentarios sobre las distintas escalas de medida La escala en que se mide la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern es cardinal intervalo como la de temperatura en grados centígrados. Tiene sentido decir «la utilidad de A es mayor que la de B» y también «la diferencia de utilidad entre B y C es cinco veces mayor que entre A y C», pero no lo tiene decir «la utilidad de A es doble que la de B» o «la utilidad de A es 5 unidades mayor que la de B».

El tipo de escala aplicable para representar una magnitud depende de las características físicas y lógicas de dicha magnitud. La lista siguiente menciona las escalas más importantes, seguidas de algún ejemplo de magnitud al que se apliquen: Escala Ordinal Dureza A tiene igual o mayor dureza que B si y sólo si U A n U B.

No tiene sentido decir «A tiene doble dureza que B». No se ha encontrado, que sepamos, la manera de medir la dureza de los materiales con una escala más rica o elaborada que la ordinal. Escala Cardinal-Intervalo Temperatura A tiene igual o mayor temperatura que B si y sólo si U A n U B.

No tiene sentido decir «A tiene doble temperatura que B», pero sí decir que «la diferencia de temperatura entre A y B es doble que entre C y D».

Escala Cardinal-Ratio Peso o saldo, sin especificar la unidad de medida A tiene igual o mayor peso o saldo que B si y sólo si U A n U B. No tiene sentido decir «a tiene un peso tres unidades mayor que b, pero sí decir que a tiene un peso doble que b».

Tienen sentido todas las sentencias anteriores. JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA Para introducir la forma extensiva de representación de un juego nos servimos del siguiente juego sencillo.

Aquél a quien le toca jugar puede pasar, o pujar con 20 euros más que el anterior suponiendo que los tiene.

Empieza Blanca pasando o pujando con 20 euros. Si un jugador decide pasar, ya no puede pujar en una jugada posterior. Gana el último en pujar, que se lleva el billete.

Si ninguno ha pujado se llevan 25 euros cada uno. Ambos jugadores deben pagar su última puja. Aparte de las reglas es de conocimiento común que cada jugador tiene sólo 60 euros.

Sean: Blanca, la jugadora 1, Carlos, el jugador 2. Podemos representar la situación descrita en el ejemplo anterior mediante árbol representado en la Figura 1. El árbol anterior tiene un punto inicial o raíz, desde el que se empieza el juego, en este caso la elección de Blanca jugadora 1 entre pasar P o pujar con 20 euros Ello da lugar a dos ramas, una para cada posible elección de Blanca.

La primera rama, a la que se accede si Blanca elige P, a la vez se divide en dos ramas, desde el nodo que corresponde a la elección de Carlos entre pasar P o pujar con 20 euros Si Carlos decide pasar P , se termina el juego y cada jugador recibe 25 euros, mientras que si decide pujar con 20 euros, el juego termina, llevándose Carlos los 50 euros y teniendo que pagar su puja, por lo que obtiene un beneficio de 30 euros, sin que Blanca tenga que pagar ni recibir nada situación que se recoge en el nodo que lleva asociados los valores 0, Formas de representación de un juego 27 La segunda rama, a la que se accede si Blanca puja con 20 euros, a su vez se divide en dos ramas, desde el nodo que corresponde a la elección de Carlos entre pasar P o pujar con 40 euros 40 , 20 euros más que la puja de Blanca.

Si el jugador 2 elige P, se acaba el juego, recibiendo Blanca los 50 euros, pero teniendo que pagar los 20 de su puja, sin que Carlos reciba ni pague nada. Si Carlos puja con 40 euros llega el turno de nuevo a Blanca que debe elegir entre pasar y se acaba el juego, con pagos.

Los elementos que definen el árbol del juego son: Los jugadores, que en este caso son la jugadora 1 Blanca y el jugador 2 Carlos.

Un conjunto de nodos, los cuales corresponden a situaciones de elección de alguno de los jugadores o de final del juego. Un conjunto de acciones, que son las que enlazan un nodo con otro, y que corresponden a elecciones de los jugadores.

Unos vectores de pagos, cada uno de los cuales está asociado a un nodo de final de juego y que tiene dos componentes, la primera de las cuales recoge el pago o la utilidad que recibe o que obtiene el jugador 1, y la segunda de las cuales recoge el pago o la utilidad que recibe o que obtiene el jugador 2 si el juego termina en ese nodo.

El ejemplo anterior es un juego con movimientos sucesivos de los jugadores. Veamos a continuación un ejemplo con movimientos simultáneos, en el que habrá que introducir un nuevo concepto para poder representar el juego por medio de un diagrama.

Si resultan dos caras o dos cruces, el jugador 1 recoge los dos euros, mientras que si hay una cara y una cruz, el jugador 2 se lleva los dos euros. La representación en forma extensiva de este juego se recoge en la Figura 1. Se dice que estos dos nodos forman un conjunto de información para el jugador 2, puesto que dicho jugador no sabe en cuál de los nodos de dicho conjunto se encuentra.

El juego anterior también se puede representar de la siguiente forma equivalente Figura 1. En general, un conjunto de información es un conjunto de nodos de decisión para el mismo jugador. Cuando a un jugador le toca jugar desde un conjunto de información el jugador no sabe en cuál de los nodos pertenecientes a dicho conjunto se encuentra.

Las condiciones que deben cumplir varios nodos para pertenecer al mismo conjunto de información son las siguientes: Los conjuntos de información del jugador i à J contienen sólo nodos de decisión del jugador i. Cada nodo de decisión del jugador i está contenido en uno y sólo uno de los conjuntos de información de ese jugador.

Las mismas acciones deben estar disponibles para un jugador en cada uno de los nodos de un conjunto de información. De no ser así, dicho jugador tendría una pista sobre el nodo en que se encuentra, a partir de las acciones que están disponibles en ese nodo.

Veamos a continuación otro ejemplo en el cual uno de los movimientos lo realiza la naturaleza o el azar. Cada uno de los dos jugadores, Blanca y Carlos, deposita un billete de 5 euros en la mesa.

A continuación, Blanca toma una carta de la baraja y comprueba cuál es. Nadie más ve la carta. Entonces Blanca puede apostar, poniendo 5 euros más en la mesa, o retirarse. Si se retira, el dinero que hay en la mesa es para Blanca si la carta escogida es un oro o una copa, siendo para Carlos si la carta en cuestión es una espada o un basto.

Formas de representación de un juego 29 Si ha optado por apostar, Carlos puede recoger la apuesta, poniendo 5 euros más en la banca, o pasar. En el primer caso se lleva todo Blanca si la carta escogida es un oro o una copa, o todo Carlos si se trata de una espada o un basto.

Si Carlos pasa se lo lleva todo Blanca, cualquiera que sea la carta escogida. Sean: Blanca, la jugadora 1, Carlos el jugador 2. La representación de este juego en forma extensiva aparece en la Figura 1.

Cuando hay un movimiento que lo realiza la naturaleza, se representa como si lo realizara el jugador 0. Vemos en el diagrama que la raíz del juego, en este caso, corresponde a una intervención del azar jugador 0 , que determina si la carta que toma la jugadora 1 es de alguno de los palos que la favorecen, oros o copas O-C o de los que no la favorecen, es decir, espadas o bastos E-B.

Por tanto, cuando en un juego hay algún movimiento realizado por el azar o por la naturaleza, se introduce el jugador 0 y se especifica la probabilidad de cada una de las ramas que surgen del nodo correspondiente al jugador 0. Elementos de un juego A continuación se definen los elementos que caracterizan a un juego en forma extensiva.

Sea X el conjunto de nodos. Un nodo representa una posible situación del juego. Entre los nodos hay uno de ellos que es la raíz del juego, punto de comienzo del juego. Dicho nodo se representa por o referente al origen.

Un nodo es terminal si no le sigue ningún otro nodo, siendo un nodo de decisión si le sigue algún otro nodo. T X , el conjunto de nodos de decisión del juego. Sea A el conjunto de todas las posibles acciones. Se define la función: a: X.

Se verifica que si xñ, xññ à s x , siendo xñ Ç xññ, entonces a xñ Ç a xññ. Es decir, acciones que parten del mismo nodo y conducen a nodos distintos, deben ser distintas.

Para cada jugador i sea Xi el conjunto de nodos de decisión en los que el jugador i tiene que elegir una acción. En un nodo particular de decisión sólo mueve uno de los jugadores. Una familia de conjuntos de información H, y una función h: X x r H r h x que asigna a cada nodo x un conjunto de información h x al que pertenece.

Los conjuntos de información forman una partición de D X. Por tanto, podemos representar por A h el conjunto de acciones disponibles en el conjunto de información h.

Sea H el conjunto que contiene a todos los conjuntos de información contenidos en los Hi, para i à J. Una función o : H0 A h, a r r [0, 1] o h, a que asigna probabilidades a acciones en conjuntos de información donde el movimiento corresponde a la naturaleza o al azar.

Por tanto, recogiendo todos los elementos anteriores podemos dar la siguiente definición. Para este juego con este diagrama vamos a ir calculando cada uno de los elementos que aparecen en la Definición 1. En este caso se tiene que: 1. Es el conjunto de los jugadores, entre los que se encuentra el jugador número 0 que corresponde al azar.

Asociada a este conjunto se define la función p, que hace corresponder a cada nodo distinto del origen su nodo inmediatamente predecesor, y al origen el propio origen.

Asociada a este conjunto está la siguiente función a que hace corresponder a cada nodo distinto del origen la acción que conduce a dicho nodo. A continuación se define el conjunto de acciones disponibles en cada uno de los conjuntos de información del juego.

Definimos ahora la función de pagos, que hace corresponder un vector bidimensional a cada uno de los nodos terminales. En este caso hay tres jugadores y no hay ningún movimiento que corresponda al azar por lo que no hay jugador número cero.

En este caso no tiene sentido definir la función o porque no existen movimientos de azar es decir, no hay jugador número cero. A cada nodo terminal le hacemos corresponder ahora un vector de pagos, en donde la primera componente consiste en el pago que va a recibir el jugador número 1, la segunda componente el pago que va a recibir el jugador número 2 y la tercera componente el pago que va a recibir el jugador número 3.

JUEGOS EN FORMA ESTRATÉGICA Para representar un juego en forma estratégica necesitamos partir del concepto de estrategia de un jugador. Una estrategia es un plan contingente, completo o regla de decisión, para un jugador, que especifica cómo actuará el jugador en cada circunstancia posible en que le corresponda mover.

Como hemos visto en el apartado anterior, el conjunto de tales circunstancias se corresponde con la familia de los conjuntos de información del jugador. A continuación definimos formalmente el concepto de estrategia pura para el jugador i.

Existen otros conceptos de estrategia que estudiaremos más adelante. Formas de representación de un juego 37 Definición 1. Por tanto, una estrategia pura para el jugador i hace corresponder, a cada conjunto de información del jugador i una de las acciones disponibles en dicho conjunto de información.

Sea Si el conjunto de todas las estrategias puras del jugador i. Dada una estrategia pura si à Si para cada uno de los jugadores 1, 2, Jugador 2 Jugador 1 Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Figura 1. Así, por ejemplo, la estrategia pura s11 indica que el jugador 1 comenzará eligiendo la acción a y posteriormente si el juego llega a los nodos x4 o x5 eligirá la acción f.

Pero si comienza eligiendo la acción a el juego ya finaliza en el nodo x1 y nunca pasará por los nodos que constituyen el segundo de los conjuntos de información del jugador 1. Análogamente, la estrategia s51 indica que el jugador 1 comenzará eligiendo la acción c y posteriormente si el juego llega a los nodos x4 o x5 eligirá la acción f, acción que nunca tendrá la oportunidad de elegir si previamente ha elegido la acción c.

De todas formas, tal como se ha definido formalmente el concepto de estrategia, hace falta especificar una acción para cada uno de los conjuntos de información del jugador.

Así, si el jugador 1 elige alguna de sus estrategias s11 o s21 el juego finaliza en el nodo x1 sin que el jugador 2 tenga ninguna opción de elegir alguna acción. Formas de representación de un juego 39 Para cada combinación formada por una de las estrategias del jugador 1 y una de las estrategias del jugador 2 se realiza un curso del juego, llegándose a un nodo terminal.

Así por ejemplo, si el jugador 1 elige su estrategia s41 y el jugador 2 elige s22, el jugador 1 comienza eligiendo la acción b, sigue el jugador 2 eligiendo la acción e, y finaliza el jugador 1 eligiendo la acción g, llegándose al nodo terminal x11 recibiendo el jugador 1 un pago de 2 y el jugador 2 un pago de 1.

Si, por ejemplo, el jugador 1 elige su estrategia s21 y el jugador 2 su estrategia s12, el jugador 1 comienza eligiendo la acción a, llegándose directamente al nodo terminal x1, sin que el jugador 2 tenga ocasión de poner en práctica su acción d que constituye su estrategia elegida, ni el jugador 1 tenga opción de elegir la acción g que forma parte de su estrategia elegida.

Por tanto, el concepto de estrategia requiere redundancia, lo cual es inevitable porque un jugador puede querer elegir una estrategia que evite un conjunto de información de otro jugador, precisamente por la acción que dicho jugador eligiría en tal conjunto de información.

Por tanto, un juego en forma estratégica viene especificado por el conjunto de jugadores, el conjunto de estrategias para cada jugador y los pagos o utilidades que reciben los jugadores para cada combinación de estrategias.

Se puede recoger toda la información requerida para la forma estratégica del juego en la siguiente matriz: Jugador 2 s12 Jugador 1 s22 sn2 ñ s11 u1 s11, s12 , u2 s11, s12 u1 s11, s22 , u2 s11, s22 ñ u1 s11, sn2 , u2 s11, sn2 s21 u1 s21, s12 , u2 s21, s12 u1 s21, s22 , u2 s21, s22 ñ u1 s21, sn2 , u2 s21, sn2 ñ ñ sm 1 ñ 1 m 1 u1 sm 1 , s2 , u2 s1 , s2 ñ ñ 2 m 2 m n m n u1 sm 1 , s2 , u2 s1 , s2 ñ u1 s1 , s2 , u2 s1 , s2 Así, el juego del Ejemplo 1.

Solución: Las estrategias puras de la jugadora 1 Blanca son: s elegir P en la primera acción y elegir P si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido s elegir P en la primera acción y elegir 60 si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido s elegir 20 en la primera acción y elegir P si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido s elegir 20 en la primera acción y elegir 60 si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido Las estrategias puras del jugador 2 Carlos son: s elegir P si la jugadora 1 ha elegido P y elegir P si la jugadora 1 ha elegido s elegir P si la jugadora 1 ha elegido P y elegir 40 si la jugadora 1 ha elegido s elegir 20 si la jugadora 1 ha elegido P y elegir P si la jugadora 1 ha elegido s elegir 20 si la jugadora 1 ha elegido P y elegir 40 si la jugadora 1 ha elegido Así, el juego del Ejemplo 1.

En la segunda parte cada jugador debe elegir individualmente y de manera simultánea entre doble o mitad. Si un jugador elige doble y el otro mitad, el que ha elegido doble se lleva Si los dos eligen mitad se llevan 2.

Si los dos eligen doble se queda todo el dinero en la mesa. Representar el juego en forma estratégica. Solución: La representación del juego en forma estratégica es: Jugadora 2 Doble Jugador 1 Mitad Doble 0, 0 Mitad 0, Por tanto, en este caso se trata de pagos esperados o utilidades esperadas.

Solución: En este juego, además del azar, intervienen los jugadores 1 Blanca y 2 Pedro. Utilizando la notación de la Figura 1. s21 consite en APOSTAR si salen oros o copas y RETIRARSE si salen espadas o bastos. s31 consiste en RETIRARSE si salen oros o copas y APOSTAR si salen espadas o bastos.

s41 consiste en RETIRARSE si salen oros o copas y RETIRARSE si salen espadas o bastos. Las estrategias puras del jugador 2, utilizando la notación de la Figura 1. Si la jugadora 1 elige s11 y el jugador 2 elige s12, entonces se llegará al nodo terminal x7 en la Figura 1. Por tanto, para esa combinación de estrategias puras los pagos serán: 10,.

Así que el pago esperado que va a recibir la jugadora 1 es igual a 0,5 10! El pago esperado que va a recibir el jugador 2 es 0,5. De manera análoga, si por ejemplo la jugadora 1 elige s31 y el jugador 2 elige s22 se llegará al nodo x4 con pagos 5,.

Por lo que el pago esperado que va a recibir la jugadora 1 es igual a 5 y el pago esperado que va a recibir el jugador 2 es. En realidad, en este caso los jugadores van a recibir dichos pagos con seguridad probabilidad 1.

Representación estratégica en juegos con tres jugadores En juegos con tres jugadores en los que cada uno de ellos tiene un número finito de estrategias puras es posible recoger toda la información de la representación estratégica del juego utilizando varias tablas parecidas a las utilizadas para juegos con dos jugadores, procediendo de la manera que se indica en los siguientes ejemplos.

Formas de representación de un juego 45 Ejemplo 1. Un día quieren pasar la velada juntos viendo un programa de televisión. Hay tres programas emitidos simultáneamente que les interesan: película, Operación Triunfo y fútbol.

La utilidad que obtiene cada uno de los miembros de la familia por cada uno de los programas aparece en la Tabla 1. Representar la situación como un juego en forma estratégica.

Solución: Sean: El padre, el jugador 1. La madre, la jugadora 2. La hija, la jugadora 3. Para cada uno de los jugadores, sus estrategias son: P: votar por ver la película.

Jugadas decididas y efectivas - La apuesta “si un jugador es expulsado” se establece sobre cualquier jugador activo que recibe una tarjeta roja, ya sea una tarjeta roja directa o de dos La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores

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Los servicios de marcador y otras retransmisiones de información de terceros se proporcionan exclusivamente con fines informativos.

No nos responsabilizamos del Cashout de cualquier apuesta que se base en las informaciones proporcionadas por estos servicios.

El retiro de fondos parcial te permite retirar parte de la apuesta y dejar una cantidad para jugar e igualarla con la ganancias final.

FUTEBOL Cualquier evento aplazado será anulado si no se reanuda en las 48 horas posteriores a partir de la hora de inicio oficial.

Las apuestas realizadas con el Crear Apuesta en fútbol, aplican para los 90 minutos más tiempo de descuento, a menos que se especifique que en la apuesta aplica para los tiempos extra y penales.

Los árbitros del partido determinan si se han jugado los 90 minutos y el tiempo de descuento. Si cualquier apuesta individual es anulada, o si un jugador de la apuesta no participa en el partido, entonces toda la apuesta será anulada.

Para cualquier error en las cuotas, nos reservamos el derecho de cancelar cualquier apuesta con la cuota incorrecta. Si se suspende un evento, cualquier apuesta que ya tenga un resultado establecido permanecerá; por ejemplo, resultado del medio tiempo o primer equipo en anotar.

Las instancias en las que la pelota golpea el palo o travesaño y termina directamente en gol no cuentan como golpe en el palo o travesaño. Ganador del partido Apuestas en: resultado del partido, luego de 90 minutos más minutos de descuento; por ejemplo Equipo A, Empate o Equipo B.

Apuestas en: si un jugador seleccionado anotará un gol en cualquier momento en el transcurso del partido 90 minutos más tiempo de descuento. Si el jugador participa en cualquier momento del partido, las apuestas permanecerán. Apuestas en: si el jugador seleccionado recibirá una tarjeta amarilla o roja en 90 minutos más tiempo de descuento.

Por ejemplo, tarjetas mostradas a los entrenadores, o a jugadores en la banca, o luego del partido no contarán. Número de córners Apuestas en: si el número total de córners durante los 90 minutos más tiempo de descuento estará por encima o por debajo de los números presentados.

Si un córner se vuelve a ejecutar, solo contará como uno. Puntos por amonestación Apuestas en: si el jugador seleccionado recibirá una tarjeta amarilla o roja en 90 minutos más tiempo de descuento. Si un jugador recibe 2 tarjetas amarillas y, en consecuencia, se le muestra una tarjeta roja, el jugador recibe un total de 35 puntos por amonestación.

Las tarjetas mostradas a los entrenadores o suplentes no cuentan para el total. Ambos equipos anotan Apuestas en: si ambos equipos anotarán al menos un gol durante el curso del partido 90 minutos más tiempo de descuento.

Apuestas en: cuál será el resultado del partido, luego de 90 minutos más tiempo de descuento. Por ejemplo: sin goles, Exactamente 1, etc. Este será un penal cobrado que no terminará en gol luego del tiro.

Los penales fallados que se vuelven a cobrar no cuentan. Solo aplicará el resultado de un penal completo.

Solo 90 minutos más tiempo de descuento. Cualquier apuesta que incluya goles de tiro libre, estos deben ser anotados directamente de un tiro libre. Los penales no cuentan.

Solo contarán las tarjetas mostradas mientras el jugador está activo en el campo de juego. Cualquier tarjeta mostrada luego del pitazo final no contará.

Por ejemplo, Sin goles, Equipo A exactamente 1 gol, Equipo B exactamente 3 goles, etc. Incluye goles en contra. Margen de triunfo Apuestas en: Por cuánto margen el equipo seleccionado ganará el partido en los 90 minutos más tiempo de descuento. Número de puntos de amonestación por equipo Apuestas en: si el número total de puntos por amonestación para tu s equipo s seleccionado s está por debajo o por encima del total señalado durante los 90 minutos más tiempo de descuento.

Número de córners por equipo Apuestas en: si el número total de córners de tu equipo seleccionado estará por encima o debajo de los números señalados en los 90 minutos más tiempo de descuento. Esto aplica a cualquier penal cobrado que no terminará en gol luego de la ejecución.

Por ejemplo, si elegiste que un jugador específico anotará el primer gol del partido, y el primer gol fue un autogol, entonces la apuesta se establecerá con el siguiente gol anotado. Si tu jugador anota el 2do gol, entonces ganaste tu apuesta. Si un jugador diferente anota el siguiente gol, entonces pierdes tu apuesta.

Número de goles por jugador Apuestas en: si el jugador seleccionado anotará un gol en cualquier momento durante el transcurso del partido 90 minutos más tiempo de descuento. NB: Cualquier gol dudoso será otorgado de acuerdo a la decisión publicada por la Liga o competición en cuestión al momento de establecer la apuesta.

Apuestas en para elemento sobre la tarjeta : si un jugador seleccionado recibirá una tarjeta amarilla o roja en el transcurso del partido 90 minutos más tiempo de descuento. Apuestas en para el elemento sobre la expulsión : si un jugador seleccionado recibirá una tarjeta roja en el transcurso del partido.

FUTEBOL AMERICANO Reglas para apuestas de betbuilder - NFL En el siguiente documento se detallan las reglas bajo las que se cerraran todas las apuestas de Betbuilder simples y combinadas SMG en inglés para la NFL.

Una apuesta combinada de Betbuilder es aquella en la que se incluyen todas las selecciones que la constituyen. Si una selección no gana, se cerrará como perdedora, a menos que se especifique de manera explícita otra cosa en este documento.

Por ejemplo, serán consideradas perdedoras las selecciones en donde un equipo se marca como ganador y se da un empate en un tiempo extra, incluso cuando no se haya ofrecido el empate en la apuesta combinada.

Si un cuarto, un medio tiempo o un partido termina sin anotaciones, entonces las selecciones de anotaciones y conversión de puntos de ese período por ejemplo, Jugador que convierte una anotación en el primer tiempo serán consideradas perdedoras. Si una o más selecciones en una apuesta quedan anuladas porque el jugador o los jugadores en cuestión no participan en el partido según la sección 4 , se anulará la totalidad de la apuesta.

Las selecciones anuladas por otros motivos en general, por abandono o postergación del partido se resolverán según las reglas que se detallan en la sección 6 de este documento. TIEMPO EXTRA Todos los partidos de la NFL se resolverán según los resultados oficiales declarados incluyendo los tiempos extra.

Por ejemplo, una selección del total de puntos del segundo tiempo incluiría los puntos que se convierten en el segundo tiempo y en el tiempo extra. MERCADOS PARA JUGADORES ESPECÍFICOS Se considerarán activas todas las selecciones de jugadores si estos participan en al menos una jugada en cualquier momento del partido en cuestión, sin importar si la selección hace referencia a un período específico del partido o no.

Si un jugador no participa en ninguna jugada durante un partido, las selecciones específicas de ese jugador quedarán anuladas. Por ejemplo, una selección en la cual se apuesta que un determinado jugador convertirá una anotación en el segundo tiempo estará activa y, por lo tanto, será considerada como perdedora si el jugador participa en la primera jugada del partido, se lesiona y no regresa al partido, aunque no haya estado en el campo durante el segundo tiempo.

Sin embargo, si el jugador se lesiona al poco tiempo de iniciado el partido y no participa en ninguna jugada de ninguna manera, la selección y, por lo tanto, la apuesta quedaría anulada.

Las apuestas de los partidos que se posponen y comienzan pasada la semana de programación designada originalmente quedarán anuladas y se devolverá el dinero de las apuestas.

Si un partido se interrumpe y luego se retoma y se completa dentro de la misma semana de programación, se mantendrán todas las apuestas de conformidad con la sección 5. Si un partido se interrumpe una vez comenzado y no se retoma y completa dentro de la misma semana de programación, se aplicarán las siguientes reglas: 1.

Se anularán todas las apuestas combinadas que incluyan al menos una selección sobre un jugador que no haya estado en el campo en al menos una jugada.

Las reglas que se describen a continuación se aplicarán en función a esta regla y subsecuentes a ella. Si todas las selecciones de una apuesta combinada del partido ya se han ganado, el abandono no afectará el resultado de cada una se las selecciones.

La totalidad de esta apuesta será considerada ganadora. Por ejemplo, una apuesta combinada de dos series en la que se apuesta que el puntaje total será más grande que cierto número y que determinado jugador convertirá una anotación será considerada ganadora si se alcanza el puntaje necesario y si el jugador convierte una anotación antes de que se abandone el partido.

En este caso, el abandono del partido no afecta a ninguna de las dos selecciones. Esto mismo no aplicaría si la puntuación total estuviera por debajo de la necesaria cuando se abandona el partido porque esto afectaría el resultado de la apuesta.

Si se pierde cualquiera de las selecciones de una apuesta combinada y el partido se abandona, la apuesta será considerada perdedora porque, independientemente del abandono, la selección o las selecciones en cuestión han concluido irrevocablemente.

Por ejemplo, si en una apuesta combinada se apuesta cuál será el primer equipo en anotar en un partido en el cual el otro equipo anota primero antes de que el partido sea abandonado, entonces esa apuesta será considerada perdedora.

En este caso, la apuesta ya está perdida y el resultado no podría haberse cambiado, independientemente que el partido haya sido abandonado luego o no. Si no hay selecciones perdedoras en una apuesta combinada y al menos una de ellas es nula al momento en que se abandona el partido, la apuesta será considerada como nula.

Esta regla aplica a los casos en los que hay una o más selecciones sin decidir al momento del abandono, las cuales podrían haberse ganado o perdido si se hubiera completado el partido como estaba programado. Por ejemplo, una apuesta combinada en la que se espera que el puntaje total sea más grande que cierto número en un partido que luego se abandona, si el total de puntos está aún por debajo del total necesario, será considerada nula.

En este caso, el puntaje total de la selección estaba aún sin resolver y, de no haber sido por el abandono, la apuesta podría haber sido tanto perdedora como ganadora así que queda anulada. CAMBIO DE UBICACIÓN Si se cambia la ubicación del partido a una distinta a la publicitada, se anulan todas las apuestas de ese partido.

Reglas para apuestas de betbuilder - NCAAF En el siguiente documento se detallan las reglas según las cuales se cerrarán todas las apuestas Betbuilder simples y combinadas SGM en inglés para la NCAAF. Una apuesta combinada de BetBuilder es aquella en la que se incluyen todas las selecciones que la constituyen.

TIEMPO EXTRA Todos los partidos de la NCAAF se resolverán según los resultados oficiales declarados incluyendo los tiempos extra. MERCADOS PARA JUGADORES ESPECÍFICOS Se considerarán activas todas las selecciones de jugadores si estos participan en al menos en una jugada en cualquier momento del partido en cuestión, sin importar si la selección hace referencia a un período específico del partido o no.

Por ejemplo, una selección en la cual se apuesta que determinado jugador convertirá una anotación en el segundo tiempo estará activa y, por lo tanto, será considerada como perdedora si el jugador participa en la primera jugada del partido, se lesiona y no regresa al partido, aunque no haya estado en el campo durante el segundo tiempo.

Sin embargo, si el jugador se lesiona al poco tiempo de iniciado el partido y no participa en ninguna jugada de ninguna forma, la selección y, por lo tanto, la apuesta quedaría anulada.

Si se pierde cualquiera de las selecciones de una apuesta combinada y el partido se abandona, la SGM será considerada perdedora porque, independientemente del abandono, la selección o las selecciones en cuestión han concluido irrevocablemente.

Por ejemplo, una apuesta combinada en la que se apuesta que el puntaje total será más grande que cierto número en un partido que luego se abandona, si el total de puntos está aún por debajo del total necesario, será considerada nula. Cualquier referencia a una "apuesta" dentro de este documento se refiere a todas las selecciones de esa apuesta agregada.

Cualquier referencia a una "selección" se refiere a una única selección dentro de la apuesta en mención. Una selección que no se resuelva como ganadora se cerrará como perdedora, a menos que se especifique explícitamente algo diferente en este documento.

Se anulará toda la apuesta si una o más selecciones resultan anuladas por cualquier motivo por mencionar alguno, cuando un jugador en particular no participa en el partido - consulte la sección 4.

Por ejemplo, las selecciones a favor de un equipo que se apuesta como ganador, en donde el resultado es un empate después del tiempo extra o del tiempo normal si no hay prórroga , se resolverán como perdedoras, incluso cuando el empate o la prórroga no se hayan ofrecido en la apuesta de Betbuilder.

Esto no será relevante para los partidos de la NBA o de la NBL, ya que se juegan períodos repetitivos de tiempo extra hasta que un equipo gana, pero puede aplicarse a otras ligas o competiciones de baloncesto según sus propias reglas de competición.

Del mismo modo, las selecciones de "Carrera hasta X puntos" en las que ningún equipo alcance la puntuación seleccionada se resolverán como perdedoras, independientemente de si estuvo disponible o no una selección del tipo "ninguno de los equipos llega a X puntos".

TIEMPO EXTRA Todos los partidos de baloncesto se resolverán según los resultados oficiales declarados, incluyendo los tiempos extra. Por ejemplo, una selección de puntos totales del segundo tiempo incluiría los puntos anotados tanto en el segundo tiempo como en los periodos de tiempo extra jugados.

MERCADOS PARA JUGADORES ESPECÍFICOS Se considerarán activas todas las selecciones de jugadores si el jugador entra a la cancha en cualquier momento del partido y participa en el evento como jugador activo, sin importar si estas selecciones hacen referencia a un período específico del partido o no.

Si un jugador nunca entra a la cancha, las selecciones específicas de ese jugador quedarán anuladas. Por ejemplo, una selección en la que se apuesta que determinado jugador anote más de Sin embargo, si el jugador se lesiona poco antes de iniciar el juego, es removido de la alineación inicial o banca y nunca participa del juego, la selección y por ende la apuesta quedaría anulada.

Se anularán todas las apuestas realizadas en partidos que comiencen después de más de 24 horas de la hora de inicio prevista originalmente. Una vez transcurridas las 24 horas, todas las apuestas serán anuladas y se reembolsarán las sumas apostadas.

Si se abandona después del comienzo, pero antes de su punto final natural, se aplican las siguientes reglas: 1. Se anularán todas las apuestas combinadas que incluyan al menos una selección sobre un jugador que no haya entrado en la cancha como jugador activo.

Las reglas que se describen a continuación se aplicarán en función a esta regla y subsecuente a ella. Si todas las selecciones de una apuesta combinada del partido ya se han ganado, el abandono no afectará el resultado de cada una de las selecciones. La totalidad de la apuesta será considerada ganadora.

Por ejemplo, una apuesta combinada de dos series en la que se apuesta que el puntaje total será más grande que cierto número y que determinado jugador anotará Esto mismo no aplicaría si la puntuación total estuviera por debajo de la necesaria cuando se abandona el partido porque el abandono afectaría el resultado de la apuesta.

Por ejemplo, si en una apuesta combinada se apuesta cuál será el primer jugador en anotar y otro jugador anota primero antes de que el partido sea abandonado, entonces esa apuesta será considerada perdedora.

En este caso, la apuesta ya está perdida y el resultado no podría haberse cambiado, independientemente de que el partido haya sido abandonado o no. Por ejemplo, una apuesta combinada en la que se apuesta que el puntaje total será más grande que cierto número en un partido que luego se abandona, si el total de puntos aún está por debajo del total necesario, será considerada nula.

HOCKEY SOBRE HIELO Una SGM de BetBuilder es una apuesta combinada compuesta por todas las selecciones integrantes. Cualquier referencia a una "apuesta" en este documento se refiere a todo el contenido de un cupón de apuestas de BetBuilder.

Cualquier referencia a una "selección" se refiere a una selección dentro de la apuesta correspondiente. Una selección que no gane, a menos que se especifique explícitamente en este documento, se liquidará como perdida. En cualquier apuesta, si una selección o más resultan nulas por algún motivo por ejemplo, cuando un jugador seleccionado no participe en un partido; véase sección 4 , toda la apuesta será considerada nula.

Por ejemplo, las selecciones de que un equipo vaya a ganar un partido en el que se produzca un empate después de la prórroga o del tiempo normal si no hay prórroga , incluso cuando el empate o la prórroga no se hubieran ofrecido a través de BetBuilder, se liquidarán como perdedoras.

Esto no será relevante para los partidos de la NHL cuando se celebren penaltis tras un empate en la prórroga temporada regular o se juegue una prórroga sin límite de muerte súbita playoffs , pero podría ser aplicable a otras ligas o competiciones de hockey sobre hielo según las reglas de competición de cada una.

De forma similar, las selecciones de "Carrera a X" en las que ninguno de los equipos alcance el resultado seleccionado se resolverán como perdidas, independientemente de si una selección de "ninguno de los equipos alcanza X" hubiera estado disponible como selección alternativa o no.

Si un período finaliza sin que se marque ningún gol, las selecciones de goleadores, como el primer goleador o el último en dicho período, se liquidarán como pedidas. Los goles marcados durante los penaltis no se tendrán en cuenta a efectos de la liquidación.

El gol atribuido al resultado de un equipo ganador tras los penaltis por ejemplo, un único gol en un partido que termina con un resultado de tras la prórroga y con tras los penaltis cuenta a efectos de las selecciones de resultado total del partido y del total de goles del equipo, pero no se atribuye a jugadores y no cuenta a efectos de la liquidación relativa a los mercados de marcador de los jugadores.

MERCADOS DEL TERCER PERÍODO Todas las selecciones del mercado del tercer período incluyen prórroga y los goles resultantes de los penaltis, en su caso. Por ejemplo, una selección de goles totales del tercer período incluiría tanto los goles marcados en el tercer período como el gol ganador marcado durante la prórroga o los penaltis.

MERCADOS ESPECÍFICOS DE JUGADORES Todas las selecciones de jugadores se considerarán activas si un jugador entra en la pista como jugador participante en cualquier momento del partido correspondiente, independientemente de que la selección en cuestión se refiera a un periodo específico del partido.

Si un jugador no entra en la pista durante un partido, las selecciones específicas de ese jugador serán nulas. Por ejemplo, si se selecciona que un determinado jugador marcará un gol en el tercer período, esta selección estaría activa y por lo tanto se liquidaría como perdida si ese jugador participa en los primeros dos minutos del partido, se lesiona y no vuelve al juego, independientemente de no haber estado en la pista de hielo en el tercer período.

Sin embargo, si ese jugador se lesiona poco antes de comenzar el partido y se cae del equipo inicial o del banquillo y no entra en la pista de hielo, la selección y, por tanto, la apuesta serían nulas.

Se anularán todas las apuestas realizadas en partidos que comiencen más de 24 horas después de la hora de inicio prevista originalmente. Una vez que hayan pasado las 24 horas, todas las apuestas serán nulas y se reembolsarán.

Si se abandona después de comenzar pero antes de su finalización natural, se aplican las siguientes reglas: 1. Las SGM serán nulas si incluyen al menos una selección que afecte a un jugador que no haya entrado en la pista como un jugador participante. Todas las reglas descritas a continuación se aplican sujetas a la aplicación de esta regla y posteriormente.

Si todas las selecciones dentro de una SGM en el partido ya son ganadoras, sin que el hecho del abandono tenga impacto alguno en el resultado de cada selección, la SGM en su totalidad se considerará ganadora.

Por ejemplo, una SGM doble que contiene una selección de que se marcarán más de ciertos goles y de que un jugador concreto marcará un gol, en un partido en el que se han alcanzado los goles requeridos y el jugador ha marcado un gol antes de que se detuviera el encuentro, se declarará como ganadora.

En este caso, el abandono del partido no ha tenido impacto alguno en ninguna de las dos selecciones. Lo mismo no se aplicaría a una selección de que se marcarán menos de ciertos goles en casos en los que se abandone el partido mientras la puntuación total aún esté por debajo del número elegido, ya que el abandono afectaría ese resultado.

Si una única selección de una SGM ha perdido y luego se abandona un partido, la SGM será tratada como perdida, cuando independientemente del hecho del abandono, la selección o selecciones en cuestión ya habían concluido irremediablemente.

Por ejemplo, una SGM en la que una selección sea que un equipo es el primero en anotar, en un partido en el que el otro equipo anote primero y posteriormente se abandone el partido, se tratará como perdida.

En este caso, la apuesta ya se había perdido, y este resultado no se vería afectado en modo alguno por el hecho de que el juego se abandonara posteriormente o no. Si no hay selecciones perdidas dentro de una SGM y hay al menos una selección nula en el momento en que se abandone un partido, la SGM se tratará como nula.

Esta regla se aplica cuando una o más selecciones aún estén por decidir en el momento del abandono y pudieran haber ganado o perdido si el juego se hubiera completado según lo previsto.

Por ejemplo, una SGM que incluya una selección de goles totales por encima de cierto número, en un partido abandonado cuando el total de goles esté todavía por debajo de la cantidad requerida, se tratará como nula.

En este caso, la selección de goles totales aún estaba por decidir y podría haber resultado ganadora o perdida si no hubiera sido por el abandono, por lo que la apuesta será declarada nula. CAMBIOS DE SEDE Si se cambia la ubicación anunciada para un partido, todas las apuestas de ese partido se considerarán nulas.

Las descalificaciones o cualquier otro cambio en el resultado del Evento después de dicha hora son irrelevantes a efectos de apuestas si ya existiese un resultado oficial. Betsafe intentará cerrar los eventos, es decir, cerrar los mercados, en cuanto finalicen los eventos, pero no ofrecerá garantías de ningún tipo por aplazamientos máximos.

Si el resultado de una apuesta se determina antes de que finalice el evento, esta se establecerá según nuestras reglas, aunque el evento se suspenda o la duración del evento se haya acortado por cualquier motivo. Asegúrese de comprobar su boleto antes de confirmar la apuesta.

Desgraciadamente, no procesamos solicitudes para anular apuestas realizadas por error. En caso de contradicciones entre las reglas y reglamentos y otras partes del Acuerdo con los clientes, se aplicará el siguiente orden de prioridad el 1 prevalece sobre el 2 y el 3, etc Reglas y reglamentos 3.

Términos y condiciones. En caso de que un evento de apuesta no prosiga, la puntuación actual del momento cuenta, si se cumplen los requisitos mínimos del deporte específico o si existe un resultado oficial dentro de las 36 horas del plazo. Todos los demás mercados de ese evento se valoran a 1.

Todas las apuestas relacionadas con eventos cancelados serán nulas, y las apuestas se devolverán a las partes implicadas. Las apuestas múltiples se calcularán de nuevo excluyendo el evento que se ha abandonado. Sólo si el lugar de celebración se cambia al lugar del equipo local, se considerarán nulas todas las apuestas relacionadas.

Si se cambia el evento a otro lugar, todas las apuestas relacionadas serán aún válidas. Esta regla sólo será de aplicación en los eventos en el que las partes tengan un lugar de celebración local. En caso de que se declaren ganadores dos o más participantes en un evento absoluto outright , las probabilidades de los participantes en el evento absoluto se dividirán por el número de participantes implicados en el empate.

En el caso de que un participante no asista a un determinado evento según lo programado, todas las apuestas relacionadas seguirán teniendo validez a no ser que el evento se cancele.

Ejemplo: si Usain Bolt no se presenta a los Campeonatos Mundiales, las apuestas relacionadas con Usain Bolt como ganador, etc.

Se declararán nulas las apuestas para competiciones o eventos que se cancelen o pospongan y que no hayan comenzado en un plazo de 12 horas desde la hora de inicio oficial programada originariamente. Betsafe se reserva el derecho de anular las apuestas que se tomen con un precio incorrecto debido a una cobertura de un evento "en directo" con retraso, y cuando un equipo haya ganado una ventaja significativa.

También nos reservamos el derecho de suspender las apuestas durante un evento por transmisión fallida o por otros problemas técnicos relacionados o si sospechamos que puede haber fraude. El plazo para colocar apuestas puede variar entre los distintos eventos. No toleramos incidentes deliberados y repetidos de apuestas tardías, eso se considerará fraude y lo trataremos de manera consecuente.

El marcador mostrado y la información adicional p. tiempo anotador en el sitio solo es referencial. No garantizamos la exactitud de esta información.

Aceptar cambios de cuotas para apuestas en directo Como cliente tienes la posibilidad de aceptar cambios de cuotas en apuestas en directo, lo que facilitará tus apuestas en directo. Esta opción resulta especialmente útil para apostar en más de un evento al mismo tiempo. Si continúas con el proceso, se considera que aceptas cambios de cuotas en tu hoja de apuestas y registraremos tu consentimiento.

Puedes consultar el estado actual en tu hoja de apuestas así que asegúrate de comprobarlo antes de enviar el cupón. Para aceptar todos los cambios de cuotas desde que se envía el cupón hasta el momento en que se confirma en una o más selecciones de tu hoja de apuestas, selecciona la casilla "Aceptar cualquier cuota" en la hoja de apuestas.

Este paso puede dar como resultado la aceptación de cuotas más bajas o más altas. Esta configuración permanecerá activa en las siguientes hojas de apuestas en directo hasta que desactives la casilla de nuevo o hasta que borres los ajustes guardados previamente.

Como cliente, tienes la posibilidad de seleccionar el formato de cuotas que prefieras entre cuotas decimales, fraccionales y americanas. Una vez guardado el formato al iniciar sesión, se guardará también en la configuración de tu navegador.

Es importante señalar que todos los cálculos realizados en relación con los pagos de un talón de apuestas emplean el formato decimal. El formato decimal será siempre equivalente o superior a los demás formatos disponibles por selección, lo que se traduce en un pago igual o mayor.

No se aplicarán reembolsos para ausentes o ganadores que no estén incluidos en la lista. No se aplicarán las "reglas del empate" para las apuestas a la "posición" y en las apuestas ganadoras se pagarán las cuotas completas indicadas, independientemente de si hay más participantes ganadores que posiciones como consecuencia de los empates.

En caso de que haya más de un ganador en apuestas al "ganador" o al "grupo de ganadores", se aplicarán las "reglas del empate".

Asegúrese de conocer todas las reglas y reglamentos que son de aplicación para todas las actividades de apuestas de Betsafe ver arriba.

En Descenso y Súper G, ambos esquiadores deben dejar la puerta de salida para que una apuesta uno contra uno tenga validez. Si ambos esquiadores no finalizan la prueba, la apuesta se anulará.

No se aplicarán reembolsos para ausentes. Si el evento tiene lugar en otra ubicación, la apuesta se anulará. Todas las apuestas se establecerán según la federación oficial de reglas FIS, IBU u otra federación oficial.

Las descalificaciones posteriores no afectarán a las apuestas. Por ejemplo, si un partido que inicialmente estaba programado para el domingo de la semana 10, se cambia al lunes-miércoles y sigue formando parte del programa de la semana 10, las apuestas seguirán teniendo validez.

Si el partido se pospone más allá del miércoles, formará parte del programa de otra semana y las apuestas se anularán. Todos los partidos incluyen tiempo adicional a no ser que se indique específicamente lo contrario.

Deben haberse jugado al menos 55 minutos del partido para que las apuestas se consideren válidas. De no ser el caso, todas las apuestas se considerarán nulas y las cuotas se establecerán en 1.

Si un partido termina en empate, las apuestas al ganador se considerarán nulas y las cuotas se fijarán en 1. Los ganadores de la división NFL se establecerán según los equipos considerados ganadores de la división de acuerdo con el sitio web NFL.

com al final de la temporada regular de la NFL. Qué equipo marcará 3 veces sin que el otro equipo marque: predecir qué equipo logrará 3 jugadas anotadoras consecutivas.

Un tiro de campo, un tiro de seguridad y un touchdown se consideran jugadas anotadoras. Los PAT puntos anotados tras el touchdown y las conversiones de 2 puntos no se consideran jugadas anotadoras, ya que son una continuación del touchdown.

Especiales de jugadores En el caso de todas las apuestas especiales de jugadores, todos los jugadores implicados deben participar en el partido para que las apuestas sigan teniendo validez. El primer y el último jugador que anoten son la excepción por la que no se aplicarán reembolsos para ausentes.

Partidos Fantasy En los partidos Fantasy dos equipos compiten sólo virtualmente. El ganador de este partido es el equipo que puntúe más goles en el día actual del partido frente a un oponente real incluyendo la prórroga.

Atención: Sólo cuentan los goles, la victoria o la derrota son irrelevantes. Ejemplo: Partido Fantasy: Atlanta — San Francisco; Partidos Reales: Atlanta — New York Jets: 24 — 13 y San Francisco — Baltimore: 30 — El resultado del partido Fantasy Atlanta — San Francisco es 24 — 30; San Francisco es la selección ganadora.

Especiales del Draft de la NFL Las posiciones de los jugadores para el Draft de la NFL se resolverán según la posición que se anuncie en la propia reunión del Draft. Se aplican las reglas del empate. En las apuestas "Uno contra uno", el participante que logre la mejor posición final gana. Si un participante continúa compitiendo cuando el otro ha sido eliminado, ganará el que avance más en la competición.

Si ambos participantes son eliminados en el mismo nivel, por ejemplo, si ambos participantes son eliminados en los cuartos de final, las apuestas se considerarán nulas y las cuotas se establecerán en 1.

Si un participante no se presenta a la competición, todas las apuestas uno contra uno o especiales en las que esté implicado el participante se anularán. Sin embargo, las apuestas al ganador seguirán teniendo validez.

Si un determinado evento se suspende o pospone, las apuestas siguen teniendo validez siempre que el evento finalice en el mismo lugar en el plazo de 12 horas. Ganador del partido incluyendo partidas internas Se debe cumplir un partido completo para que las apuestas sean válidas.

Si no concluye 1 partido como mínimo, se anularán todas las apuestas. Apuestas de hándicap incluyendo partidas internas Si cualquiera de los participantes se retira, las apuestas de hándicaps serán consideradas nulas a menos que no haya manera de que el partido hubiese llegado a su conclusión natural sin determinar incondicionalmente el resultado del mismo.

Si un jugador indicado no participa en un partido individual o de dobles, las apuestas realizadas en estas competiciones quedarán anuladas. Sin embargo, todas las apuestas realizadas en el resultado de una competición por equipos no se verán afectadas por los cambios o sustituciones de jugadores en las alineaciones de los equipos.

Todas las apuestas se mantienen en los resultados de una competición por equipos, incluso en el caso de que el resultado de uno o más partidos individuales haya sido decidido por la no comparecencia del contrincante debido a la renuncia de un jugador.

Apuestas a ganador: no se aplicarán reembolsos para ausentes. Se aplicarán las reglas del empate. Todas las apuestas tienen validez durante el tiempo reglamentario a no ser que se indique lo contrario. Si un partido se juega en 3 periodos en lugar de disputarse en dos y medio, el resultado que se tendrá en cuenta, una vez transcurridos 45 minutos, será el resultado del primer tiempo para todos los grupos de apuestas.

Si el partido se ha pospuesto o cancelado, todas las apuestas quedarán anuladas, en el caso de que el partido no se juegue en el plazo de 12 horas de la hora de inicio original. Especiales de jugadores: Cualquier jugador implicado en una apuesta especial debe participar en el partido, de lo contrario las apuestas quedarán anuladas.

Un partido se vuelve oficial una vez que se hayan jugado 5 entradas 4. Las apuestas por el Total de carreras, totales de Equipo se mantendrán si al menos 9 entradas son jugadas 8.

Todas las apuestas incluyen entradas adicionales a menos que se especifique. Si un playoff fuera suspendido y completado en el lapso de las siguientes horas luego de la suspensión, todas las apuestas se mantendrán y se cerrarán de acuerdo al final del juego.

Si, por alguna razón, un partido terminase en empate, las apuestas a ganador serán anuladas, mientras que todas las otras apuestas se mantendrán y serán saldadas según el resultado oficial.

Los 5 innings a ganador deberán completarse 4,5 si el equipo local está por delante en el marcador para que el resultado sea oficial.

Todas las demás apuestas son válidas si se juegan 7 innings 6,5 si el equipo local está por delante en el marcador Lanzadores iniciales: Los lanzadores iniciales publicados en los mercados de béisbol únicamente están disponibles con fines informativos.

Los lanzadores iniciales que se muestren en tu historial de apuestas o en tu talón de apuesta no afectarán a tu apuesta, y todas las apuestas seguirán siendo válidas; tanto si se el lanzador inicial mostrado juega al comienzo del partido o no.

Especiales de jugadores: Cualquier jugador implicado en una apuesta especial de jugadores debe jugar en el partido para que las apuestas tengan validez. En el caso de los lanzadores, deben realizar al menos un lanzamiento. Bateadores deberán que tener al menos una presencia en el home plate. En aquellos partidos en los no se completen 9 entradas 8,5, si el equipo local está ganando , todas las apuestas especiales de jugadores se anularán, a no ser que el resultado ya se haya determinado.

El resultado puede verse determinado por el pase a la siguiente fase o la eliminación del jugador antes de que finalice el partido.

Si el tiempo que queda del partido se cancela, pospone o suspende, esto no afectará a dichas apuestas. Cualquier apuesta especial o de proposiciones relacionadas con quién marcará primero se establecerá según quién marque primero; si el tiempo que queda del partido se cancela, pospone o suspende, esto no afectará a dichas apuestas Apuestas de las series de la temporada regular: Todos los partidos programados de una serie deben disputarse en un plazo máximo de 24 horas contadas a partir de la hora programada originalmente para el último partido de la serie.

Si algún partido de las series no finaliza durante este periodo de tiempo, todas las apuestas de las series se anularán. Los resultados de todos lo partidos deben ser resultados oficiales en las clasificaciones para que las apuestas sean válidas.

Los lanzadores iniciales no influyen en las apuestas de las series. Béisbol internacional: Cualquier partido que finalice en base a la "Mercy Rule" regla de la misericordia tendrá validez, independientemente del número de entradas que se disputen.

Grand Salami: Deben disputarse al menos 8,5 entradas durante todos los partidos para que las apuestas sean válidas. Si se pospone un partido, se anularán las apuestas, a menos que el partido se juegue en un plazo de 12 horas a partir de la hora de inicio original.

Todas las apuestas del Grand Salami siguen teniendo validez, independientemente de si se realizan cambios de lanzamiento durante ese día en concreto. Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 minutos o menos para el final del encuentro, a menos que el resultado del mercado específico ya se haya determinado.

Especiales de jugadores: Todas las apuestas especiales de jugadores requieren que todos los jugadores involucrados en ellas participen en el encuentro. De no ser así, las apuestas serán anuladas. Establecimiento de apuestas: Todos los resultados deben basarse en los resultados de la fuente oficial o el sitio web oficial de la competición en cuestión.

En los casos en que no se dispongan de estadísticas ni resultados procedentes de fuentes oficiales, o existan pruebas fiables de que el sitio web ha utilizado información incorrecta de fuentes independientes, el establecimiento de apuestas puede revocarse.

En aquellos casos en que se carezca de información coherente, estableceremos las apuestas según nuestras estadísticas internas. Para todos los partidos que se juegan como parte de una eliminatoria de dos partidos; cuando el marcador total sea igual al final del tiempo reglamentario en el partido de vuelta, se incluirá el tiempo extra para determinar el resultado de las apuestas del partido de vuelta.

Apuestas a largo plazo de la NBA: En el caso de enfrentamientos y apuestas totales a equipo ganador de la temporada regular, ambos equipos deben disputar un mínimo de 80 partidos de la temporada regular para que las apuestas sean válidas. Sin embargo, si el resultado ya es definitivo antes de disputar los 80 partidos, no se aplica esta regla.

Según las reglas de la NBA. Ganador de la División: las apuestas se establecerán según las reglas oficiales de desempate de la NBA Ganador de la Conferencia: los equipos que avancen hacia las finales de la NBA se considerarán los campeones de las conferencias.

Estos resultados no se basan en el récord de la temporada regular. Apuestas de partidos Ganador del partido Las apuestas se establecerán en función del equipo que gane el juego. El tiempo extra cuenta Hándicap Las apuestas se establecerán en función del equipo que gane el juego después de haber aplicado el hándicap de puntos al marcador real.

El tiempo extra cuenta Puntos totales Las apuestas se establecerán en función de si el total de puntos anotados en el juego está por encima o por debajo de la línea establecida. El tiempo extra cuenta Puntos totales equipo local Las apuestas se establecerán en función de si el total de puntos anotados por el equipo local está por encima o por debajo de la línea establecida.

El tiempo extra cuenta Puntos totales equipo visitante Las apuestas se establecerán en función de si el total de puntos anotados por el equipo visitante está por encima o por debajo de la línea establecida. El tiempo extra cuenta Equipo que anota la última canasta Las apuestas se establecerán en función del equipo que anote la última canasta.

El tiempo extra cuenta a menos que se indique lo contrario Resultado doble Las apuestas se establecerán en función del resultado del partido en el medio tiempo y el tiempo completo. Ambas predicciones deben ser correctas para que las apuestas sean ganadoras. El tiempo extra cuenta a menos que se indique lo contrario Margen del triunfo Las apuestas se establecerán en función del equipo ganador y su margen de victoria.

El tiempo extra cuenta Apuestas del primer tiempo Las apuestas se establecerán en función del resultado del primer tiempo únicamente. El primer tiempo debe completarse para que las apuestas sean válidas, a menos que ya se haya decidido el resultado del mercado.

Totales del primer tiempo Las apuestas se establecerán en función de si el total de puntos anotados en el primer tiempo está por encima o por debajo de la línea establecida. El primer tiempo debe completarse para que las apuestas sean válidas, a menos que ya se haya establecido un mercado ganador en el momento del abandono.

Apuestas del segundo tiempo Las apuestas se establecerán en función del resultado del segundo tiempo. El tiempo extra no cuenta a menos que se indique lo contrario.

Si después del inicio de un juego, éste se pospone o cancela, para las apuestas del juego y el segundo tiempo deben quedar 5 minutos o menos para que las apuestas tengan se consideren válidas, a menos que ya se haya determinado el resultado de las apuestas. Cada cuarto especificado debe completarse para que las apuestas sean válidas, a menos que ya se haya decidido el resultado del mercado.

El tiempo extra no cuenta. Mercados "Primero en alcanzar x" Las apuestas se establecerán en función del equipo que anote primero el total especificado en el periodo indicado.

El mercado se establecerá como "Si", cuando el partido termine en empate al final del tiempo reglamentario, independientemente de si se juega o no el tiempo extra. Apuestas de series Las apuestas se establecerán en función del equipo que gane la serie determinada.

Para que las apuestas sean válidas, las series deben concluir con normalidad. Ganador de la liga Las apuestas se establecerán en función de la clasificación oficial, incluidos los playoffs Apuestas Player props El jugador debe jugar para que las apuestas sean válidas.

El tiempo extra cuenta. Porcentaje de tiros libres del jugador Las apuestas realizadas al porcentaje de tiros libres serán anuladas si ese jugador termina el partido con cero intentos de tiros libres. Doble doble y triple doble Un doble doble se logra cuando el jugador designado alcanza cifras dobles, 10 o más, en dos de las cinco categorías estadísticas principales: puntos, asistencias, rebotes, robos y bloqueos.

Un triple doble se logra cuando el jugador designado alcanza cifras dobles, 10 o más, en tres de las cinco categorías estadísticas principales: puntos, asistencias, rebotes, robos y bloqueos. Primer jugador en anotar Las apuestas realizadas al primer jugador en anotar se anularán si ese jugador no comienza el juego o si entra después de que se haya anotado el primer punto.

Todos los mercados del "primer jugador en anotar" se refiere a la primera canasta del juego. Tiro libre como primera anotación del juego La selección ganadora es el jugador que hace la primera canasta del juego y es un tiro libre 2 puntos como primera anotación del juego La selección ganadora es el jugador que hace la primera canasta del juego y es un tiro de 2 puntos 3 puntos como primera anotación del juego La selección ganadora es el jugador que hace la primera canasta del juego y es un tiro de 3 puntos El tiempo habitual lo definen las reglas oficiales publicadas por la respectiva autoridad competente.

En caso de que un partido comience antes de la hora prevista, todas las apuestas realizadas después de la hora real de inicio se considerarán nulas.

No se ajustará la decisión por ninguna adjudicación o cambio efectuados por las autoridades competentes después del evento o campeonato.

Apuestas de partidos Resultado del partido Las apuestas se decidirán según el equipo que gane el partido, es decir, el equipo local o el visitante.

Número de goles Las apuestas se decidirán en función de si el número total de goles marcados en el partido supera o no el límite establecido. Ventaja Las apuestas se decidirán según el equipo que gane el partido una vez aplicada la línea de ventaja. Apuestas a largo plazo Ganador absoluto y otras apuestas de posición en la competición Las apuestas se decidirán según la posición final del equipo en la competición cuando terminen los partidos programados, excluyendo los playoffs.

Mayor goleador Las apuestas se decidirán según qué jugador marca más goles en la competición indicada en el título. En las competiciones de liga, los playoff no cuentan.

Los goles en propia puerta no cuentan. Las apuestas se pagarán únicamente según el resultado oficial. No se tomarán en cuenta las posibles descalificaciones que tengan lugar a posteriori. Apuestas a ganador en eventos suspendidos: Todas las apuestas se anularán si se suspende un evento, a menos que la federación oficial de reglas FIS, IBU u otra federación oficial confirme los resultados como "resultado oficial" en el momento en el que se suspende el evento y dicho evento no continúe en los 2 días naturales siguientes en el mismo lugar.

Competición por equipos y relevos: Alos efectos de esta apuesta, las competiciones por equipos y los relevos solo cuentan como una medalla. El resultado puede revisarse o modificarse tras la presentación inicial del locutor.

Las apuestas no son oficiales hasta que los árbitros comprueben los resultados en el lugar del combate. Las modificaciones posteriores al resultado del cuadrilátero establecido por la autoridad competente que anulen la decisión sobre un combate basándose en una apelación, un juicio, el resultado de un control antidoping o cualquier otra sanción no se reconocerán, y las apuestas permanecerán igual, basándose en el resultado del cuadrilátero.

El punto medio de un asalto se produce exactamente cuando han transcurrido 1 minuto y 30 segundos de un asalto de 3 minutos. Así, 3,5 asaltos habrán transcurrido cuando hayan pasado 1 minuto y 30 segundos del 4.

o asalto. Las definiciones siguientes intentan cuantificar las ideas anteriores, de modo que sea posible comparar la aversión o propensión al riesgo de dos agentes cualesquiera. La idea intuitiva es que la curvatura de la función de utilidad de un agente, medida por su derivada segunda, nos informa del grado de aversión al riesgo de dicho agente.

Se supone que u es dos veces diferenciable en [a, b]. xuññ x uñ x Proposición 1. En ese caso es neutral al riesgo. d, siendo c b 0, donde a b 0. d, siendo c b 0, donde a a 0. c b Veamos cada una de las dos implicaciones. ax, en donde C es una constante positiva. uñ x c Se demuestra de manera análoga a b.

Algunos comentarios sobre las distintas escalas de medida La escala en que se mide la utilidad esperada de Von Neumann-Morgenstern es cardinal intervalo como la de temperatura en grados centígrados.

Tiene sentido decir «la utilidad de A es mayor que la de B» y también «la diferencia de utilidad entre B y C es cinco veces mayor que entre A y C», pero no lo tiene decir «la utilidad de A es doble que la de B» o «la utilidad de A es 5 unidades mayor que la de B».

El tipo de escala aplicable para representar una magnitud depende de las características físicas y lógicas de dicha magnitud. La lista siguiente menciona las escalas más importantes, seguidas de algún ejemplo de magnitud al que se apliquen: Escala Ordinal Dureza A tiene igual o mayor dureza que B si y sólo si U A n U B.

No tiene sentido decir «A tiene doble dureza que B». No se ha encontrado, que sepamos, la manera de medir la dureza de los materiales con una escala más rica o elaborada que la ordinal.

Escala Cardinal-Intervalo Temperatura A tiene igual o mayor temperatura que B si y sólo si U A n U B. No tiene sentido decir «A tiene doble temperatura que B», pero sí decir que «la diferencia de temperatura entre A y B es doble que entre C y D».

Escala Cardinal-Ratio Peso o saldo, sin especificar la unidad de medida A tiene igual o mayor peso o saldo que B si y sólo si U A n U B. No tiene sentido decir «a tiene un peso tres unidades mayor que b, pero sí decir que a tiene un peso doble que b».

Tienen sentido todas las sentencias anteriores. JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA Para introducir la forma extensiva de representación de un juego nos servimos del siguiente juego sencillo. Aquél a quien le toca jugar puede pasar, o pujar con 20 euros más que el anterior suponiendo que los tiene.

Empieza Blanca pasando o pujando con 20 euros. Si un jugador decide pasar, ya no puede pujar en una jugada posterior. Gana el último en pujar, que se lleva el billete.

Si ninguno ha pujado se llevan 25 euros cada uno. Ambos jugadores deben pagar su última puja. Aparte de las reglas es de conocimiento común que cada jugador tiene sólo 60 euros.

Sean: Blanca, la jugadora 1, Carlos, el jugador 2. Podemos representar la situación descrita en el ejemplo anterior mediante árbol representado en la Figura 1. El árbol anterior tiene un punto inicial o raíz, desde el que se empieza el juego, en este caso la elección de Blanca jugadora 1 entre pasar P o pujar con 20 euros Ello da lugar a dos ramas, una para cada posible elección de Blanca.

La primera rama, a la que se accede si Blanca elige P, a la vez se divide en dos ramas, desde el nodo que corresponde a la elección de Carlos entre pasar P o pujar con 20 euros Si Carlos decide pasar P , se termina el juego y cada jugador recibe 25 euros, mientras que si decide pujar con 20 euros, el juego termina, llevándose Carlos los 50 euros y teniendo que pagar su puja, por lo que obtiene un beneficio de 30 euros, sin que Blanca tenga que pagar ni recibir nada situación que se recoge en el nodo que lleva asociados los valores 0, Formas de representación de un juego 27 La segunda rama, a la que se accede si Blanca puja con 20 euros, a su vez se divide en dos ramas, desde el nodo que corresponde a la elección de Carlos entre pasar P o pujar con 40 euros 40 , 20 euros más que la puja de Blanca.

Si el jugador 2 elige P, se acaba el juego, recibiendo Blanca los 50 euros, pero teniendo que pagar los 20 de su puja, sin que Carlos reciba ni pague nada.

Si Carlos puja con 40 euros llega el turno de nuevo a Blanca que debe elegir entre pasar y se acaba el juego, con pagos. Los elementos que definen el árbol del juego son: Los jugadores, que en este caso son la jugadora 1 Blanca y el jugador 2 Carlos.

Un conjunto de nodos, los cuales corresponden a situaciones de elección de alguno de los jugadores o de final del juego. Un conjunto de acciones, que son las que enlazan un nodo con otro, y que corresponden a elecciones de los jugadores. Unos vectores de pagos, cada uno de los cuales está asociado a un nodo de final de juego y que tiene dos componentes, la primera de las cuales recoge el pago o la utilidad que recibe o que obtiene el jugador 1, y la segunda de las cuales recoge el pago o la utilidad que recibe o que obtiene el jugador 2 si el juego termina en ese nodo.

El ejemplo anterior es un juego con movimientos sucesivos de los jugadores. Veamos a continuación un ejemplo con movimientos simultáneos, en el que habrá que introducir un nuevo concepto para poder representar el juego por medio de un diagrama.

Si resultan dos caras o dos cruces, el jugador 1 recoge los dos euros, mientras que si hay una cara y una cruz, el jugador 2 se lleva los dos euros. La representación en forma extensiva de este juego se recoge en la Figura 1. Se dice que estos dos nodos forman un conjunto de información para el jugador 2, puesto que dicho jugador no sabe en cuál de los nodos de dicho conjunto se encuentra.

El juego anterior también se puede representar de la siguiente forma equivalente Figura 1. En general, un conjunto de información es un conjunto de nodos de decisión para el mismo jugador. Cuando a un jugador le toca jugar desde un conjunto de información el jugador no sabe en cuál de los nodos pertenecientes a dicho conjunto se encuentra.

Las condiciones que deben cumplir varios nodos para pertenecer al mismo conjunto de información son las siguientes: Los conjuntos de información del jugador i à J contienen sólo nodos de decisión del jugador i.

Cada nodo de decisión del jugador i está contenido en uno y sólo uno de los conjuntos de información de ese jugador. Las mismas acciones deben estar disponibles para un jugador en cada uno de los nodos de un conjunto de información.

De no ser así, dicho jugador tendría una pista sobre el nodo en que se encuentra, a partir de las acciones que están disponibles en ese nodo. Veamos a continuación otro ejemplo en el cual uno de los movimientos lo realiza la naturaleza o el azar.

Cada uno de los dos jugadores, Blanca y Carlos, deposita un billete de 5 euros en la mesa. A continuación, Blanca toma una carta de la baraja y comprueba cuál es.

Nadie más ve la carta. Entonces Blanca puede apostar, poniendo 5 euros más en la mesa, o retirarse. Si se retira, el dinero que hay en la mesa es para Blanca si la carta escogida es un oro o una copa, siendo para Carlos si la carta en cuestión es una espada o un basto.

Formas de representación de un juego 29 Si ha optado por apostar, Carlos puede recoger la apuesta, poniendo 5 euros más en la banca, o pasar. En el primer caso se lleva todo Blanca si la carta escogida es un oro o una copa, o todo Carlos si se trata de una espada o un basto.

Si Carlos pasa se lo lleva todo Blanca, cualquiera que sea la carta escogida. Sean: Blanca, la jugadora 1, Carlos el jugador 2. La representación de este juego en forma extensiva aparece en la Figura 1. Cuando hay un movimiento que lo realiza la naturaleza, se representa como si lo realizara el jugador 0.

Vemos en el diagrama que la raíz del juego, en este caso, corresponde a una intervención del azar jugador 0 , que determina si la carta que toma la jugadora 1 es de alguno de los palos que la favorecen, oros o copas O-C o de los que no la favorecen, es decir, espadas o bastos E-B.

Por tanto, cuando en un juego hay algún movimiento realizado por el azar o por la naturaleza, se introduce el jugador 0 y se especifica la probabilidad de cada una de las ramas que surgen del nodo correspondiente al jugador 0. Elementos de un juego A continuación se definen los elementos que caracterizan a un juego en forma extensiva.

Sea X el conjunto de nodos. Un nodo representa una posible situación del juego. Entre los nodos hay uno de ellos que es la raíz del juego, punto de comienzo del juego.

Dicho nodo se representa por o referente al origen. Un nodo es terminal si no le sigue ningún otro nodo, siendo un nodo de decisión si le sigue algún otro nodo. T X , el conjunto de nodos de decisión del juego. Sea A el conjunto de todas las posibles acciones. Se define la función: a: X.

Se verifica que si xñ, xññ à s x , siendo xñ Ç xññ, entonces a xñ Ç a xññ. Es decir, acciones que parten del mismo nodo y conducen a nodos distintos, deben ser distintas.

Para cada jugador i sea Xi el conjunto de nodos de decisión en los que el jugador i tiene que elegir una acción. En un nodo particular de decisión sólo mueve uno de los jugadores. Una familia de conjuntos de información H, y una función h: X x r H r h x que asigna a cada nodo x un conjunto de información h x al que pertenece.

Los conjuntos de información forman una partición de D X. Por tanto, podemos representar por A h el conjunto de acciones disponibles en el conjunto de información h. Sea H el conjunto que contiene a todos los conjuntos de información contenidos en los Hi, para i à J. Una función o : H0 A h, a r r [0, 1] o h, a que asigna probabilidades a acciones en conjuntos de información donde el movimiento corresponde a la naturaleza o al azar.

Por tanto, recogiendo todos los elementos anteriores podemos dar la siguiente definición. Para este juego con este diagrama vamos a ir calculando cada uno de los elementos que aparecen en la Definición 1. En este caso se tiene que: 1. Es el conjunto de los jugadores, entre los que se encuentra el jugador número 0 que corresponde al azar.

Asociada a este conjunto se define la función p, que hace corresponder a cada nodo distinto del origen su nodo inmediatamente predecesor, y al origen el propio origen. Asociada a este conjunto está la siguiente función a que hace corresponder a cada nodo distinto del origen la acción que conduce a dicho nodo.

A continuación se define el conjunto de acciones disponibles en cada uno de los conjuntos de información del juego. Definimos ahora la función de pagos, que hace corresponder un vector bidimensional a cada uno de los nodos terminales. En este caso hay tres jugadores y no hay ningún movimiento que corresponda al azar por lo que no hay jugador número cero.

En este caso no tiene sentido definir la función o porque no existen movimientos de azar es decir, no hay jugador número cero. A cada nodo terminal le hacemos corresponder ahora un vector de pagos, en donde la primera componente consiste en el pago que va a recibir el jugador número 1, la segunda componente el pago que va a recibir el jugador número 2 y la tercera componente el pago que va a recibir el jugador número 3.

JUEGOS EN FORMA ESTRATÉGICA Para representar un juego en forma estratégica necesitamos partir del concepto de estrategia de un jugador. Una estrategia es un plan contingente, completo o regla de decisión, para un jugador, que especifica cómo actuará el jugador en cada circunstancia posible en que le corresponda mover.

Como hemos visto en el apartado anterior, el conjunto de tales circunstancias se corresponde con la familia de los conjuntos de información del jugador.

A continuación definimos formalmente el concepto de estrategia pura para el jugador i. Existen otros conceptos de estrategia que estudiaremos más adelante. Formas de representación de un juego 37 Definición 1. Por tanto, una estrategia pura para el jugador i hace corresponder, a cada conjunto de información del jugador i una de las acciones disponibles en dicho conjunto de información.

Sea Si el conjunto de todas las estrategias puras del jugador i. Dada una estrategia pura si à Si para cada uno de los jugadores 1, 2, Jugador 2 Jugador 1 Jugador 1 Jugador 2 Jugador 1 Figura 1.

Así, por ejemplo, la estrategia pura s11 indica que el jugador 1 comenzará eligiendo la acción a y posteriormente si el juego llega a los nodos x4 o x5 eligirá la acción f.

Pero si comienza eligiendo la acción a el juego ya finaliza en el nodo x1 y nunca pasará por los nodos que constituyen el segundo de los conjuntos de información del jugador 1. Análogamente, la estrategia s51 indica que el jugador 1 comenzará eligiendo la acción c y posteriormente si el juego llega a los nodos x4 o x5 eligirá la acción f, acción que nunca tendrá la oportunidad de elegir si previamente ha elegido la acción c.

De todas formas, tal como se ha definido formalmente el concepto de estrategia, hace falta especificar una acción para cada uno de los conjuntos de información del jugador. Así, si el jugador 1 elige alguna de sus estrategias s11 o s21 el juego finaliza en el nodo x1 sin que el jugador 2 tenga ninguna opción de elegir alguna acción.

Formas de representación de un juego 39 Para cada combinación formada por una de las estrategias del jugador 1 y una de las estrategias del jugador 2 se realiza un curso del juego, llegándose a un nodo terminal.

Así por ejemplo, si el jugador 1 elige su estrategia s41 y el jugador 2 elige s22, el jugador 1 comienza eligiendo la acción b, sigue el jugador 2 eligiendo la acción e, y finaliza el jugador 1 eligiendo la acción g, llegándose al nodo terminal x11 recibiendo el jugador 1 un pago de 2 y el jugador 2 un pago de 1.

Si, por ejemplo, el jugador 1 elige su estrategia s21 y el jugador 2 su estrategia s12, el jugador 1 comienza eligiendo la acción a, llegándose directamente al nodo terminal x1, sin que el jugador 2 tenga ocasión de poner en práctica su acción d que constituye su estrategia elegida, ni el jugador 1 tenga opción de elegir la acción g que forma parte de su estrategia elegida.

Por tanto, el concepto de estrategia requiere redundancia, lo cual es inevitable porque un jugador puede querer elegir una estrategia que evite un conjunto de información de otro jugador, precisamente por la acción que dicho jugador eligiría en tal conjunto de información.

Por tanto, un juego en forma estratégica viene especificado por el conjunto de jugadores, el conjunto de estrategias para cada jugador y los pagos o utilidades que reciben los jugadores para cada combinación de estrategias. Se puede recoger toda la información requerida para la forma estratégica del juego en la siguiente matriz: Jugador 2 s12 Jugador 1 s22 sn2 ñ s11 u1 s11, s12 , u2 s11, s12 u1 s11, s22 , u2 s11, s22 ñ u1 s11, sn2 , u2 s11, sn2 s21 u1 s21, s12 , u2 s21, s12 u1 s21, s22 , u2 s21, s22 ñ u1 s21, sn2 , u2 s21, sn2 ñ ñ sm 1 ñ 1 m 1 u1 sm 1 , s2 , u2 s1 , s2 ñ ñ 2 m 2 m n m n u1 sm 1 , s2 , u2 s1 , s2 ñ u1 s1 , s2 , u2 s1 , s2 Así, el juego del Ejemplo 1.

Solución: Las estrategias puras de la jugadora 1 Blanca son: s elegir P en la primera acción y elegir P si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido s elegir P en la primera acción y elegir 60 si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido s elegir 20 en la primera acción y elegir P si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido s elegir 20 en la primera acción y elegir 60 si J1 ha elegido 20 y J2 ha elegido Las estrategias puras del jugador 2 Carlos son: s elegir P si la jugadora 1 ha elegido P y elegir P si la jugadora 1 ha elegido s elegir P si la jugadora 1 ha elegido P y elegir 40 si la jugadora 1 ha elegido s elegir 20 si la jugadora 1 ha elegido P y elegir P si la jugadora 1 ha elegido s elegir 20 si la jugadora 1 ha elegido P y elegir 40 si la jugadora 1 ha elegido Así, el juego del Ejemplo 1.

En la segunda parte cada jugador debe elegir individualmente y de manera simultánea entre doble o mitad. Si un jugador elige doble y el otro mitad, el que ha elegido doble se lleva Si los dos eligen mitad se llevan 2. Si los dos eligen doble se queda todo el dinero en la mesa.

Representar el juego en forma estratégica. Solución: La representación del juego en forma estratégica es: Jugadora 2 Doble Jugador 1 Mitad Doble 0, 0 Mitad 0, Por tanto, en este caso se trata de pagos esperados o utilidades esperadas. Solución: En este juego, además del azar, intervienen los jugadores 1 Blanca y 2 Pedro.

Utilizando la notación de la Figura 1. s21 consite en APOSTAR si salen oros o copas y RETIRARSE si salen espadas o bastos. s31 consiste en RETIRARSE si salen oros o copas y APOSTAR si salen espadas o bastos. s41 consiste en RETIRARSE si salen oros o copas y RETIRARSE si salen espadas o bastos.

Las estrategias puras del jugador 2, utilizando la notación de la Figura 1. Si la jugadora 1 elige s11 y el jugador 2 elige s12, entonces se llegará al nodo terminal x7 en la Figura 1. Por tanto, para esa combinación de estrategias puras los pagos serán: 10,. Así que el pago esperado que va a recibir la jugadora 1 es igual a 0,5 10!

El pago esperado que va a recibir el jugador 2 es 0,5. De manera análoga, si por ejemplo la jugadora 1 elige s31 y el jugador 2 elige s22 se llegará al nodo x4 con pagos 5,.

Por lo que el pago esperado que va a recibir la jugadora 1 es igual a 5 y el pago esperado que va a recibir el jugador 2 es. En realidad, en este caso los jugadores van a recibir dichos pagos con seguridad probabilidad 1.

Representación estratégica en juegos con tres jugadores En juegos con tres jugadores en los que cada uno de ellos tiene un número finito de estrategias puras es posible recoger toda la información de la representación estratégica del juego utilizando varias tablas parecidas a las utilizadas para juegos con dos jugadores, procediendo de la manera que se indica en los siguientes ejemplos.

Formas de representación de un juego 45 Ejemplo 1. Un día quieren pasar la velada juntos viendo un programa de televisión. Hay tres programas emitidos simultáneamente que les interesan: película, Operación Triunfo y fútbol.

La utilidad que obtiene cada uno de los miembros de la familia por cada uno de los programas aparece en la Tabla 1. Representar la situación como un juego en forma estratégica. Solución: Sean: El padre, el jugador 1. La madre, la jugadora 2. La hija, la jugadora 3. Para cada uno de los jugadores, sus estrategias son: P: votar por ver la película.

OT: votar por ver Operación Triunfo. F: votar por ver el partido de fútbol. Obsérvese que para cada estrategia de la jugadora 3 se construye una tabla en la que se van combinando pares de estrategias de los jugadores 1 y 2 con la estrategia fijada de la jugadora 3 que aparece en el encabezamiento de la tabla correspondiente.

El jugador 1 tiene un único conjunto de información, el conjunto que contiene únicamente al nodo inicial o, por lo que las estrategias del jugador 1 se corresponden con las acciones disponibles desde el nodo inicial. d, g , que consiste en que el jugador 2 elige d desde x1 y g desde x2.

e, f , que consiste en que el jugador 2 elige e desde x1 y f desde x2. e, g , en que el jugador 2 elige e desde x1 y g desde x2. Vamos a utilizar la forma matricial para tres jugadores.

Para ello elegimos uno de los jugadores, por ejemplo el jugador 3, y combinamos cada una de las estrategias de dicho jugador con todas las combinaciones de estrategias de los demás jugadores, en este caso los jugadores 1 y 2, calculando los pagos para cada combinación de estrategias.

La representación que se obtiene es la siguiente: Sea h la estrategia pura del jugador 3 Jugador 1 d, f d, g 3 1, 4, e, f 3 1, 4, b 2, 4,. Las formas extensiva y estratégica de representación de un juego que hemos introducido en apartados anteriores se utilizan para estudiar juegos no cooperativos, en los que interesan las estrategias de los jugadores y las utilidades o los pagos que se obtienen para combinaciones de estrategias.

En los juegos cooperativos se parte de que es posible que algunos jugadores puedan llegar a acuerdos vinculantes a los que quedarían obligados de manera ineludible , por lo que se trata de estudiar los resultados que puede obtener cada una de las coaliciones de jugadores que se pueda formar.

Por tanto, se trata de estudiar cómo pueden actuar grupos de jugadores, interesándonos los comportamientos colectivos y sin que haga falta detenerse en las acciones individuales de cada uno de los miembros de una coalición.

Obsérvese que el conjunto de jugadores es finito. Sea P J el conjunto de las partes de J, que está formado por cada una de las posibles coaliciones que se pueden formar incluyendo la coalición sin jugadores que es Y. Supongamos que las utilidades de los jugadores son transferibles, lo cual quiere decir que las ganancias o pérdidas que se obtienen al actuar como coalición pueden repartirse entre los jugadores que la componen.

Se llama función característica a una función que asigna a cada coalición un número real, asignando al conjunto vacío el valor cero. Para una coalición S, a v S se le llama valor de la coalición y es el valor mínimo que puede obtener la coalición si todos sus miembros se asocian y juegan en equipo.

Se trata por tanto del valor que una coalición puede garantizarse que obtendrá si realmente funciona como tal coalición y toma sus decisiones de manera adecuada. A continuación se define formalmente qué se entiende por representación de un juego en forma coalicional o en forma de función característica.

Formas de representación de un juego 49 Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1. Dadas sus tecnologías, la empresa 1 puede producir 0, 8 o 16 unidades de output al coste unitario de 2 unidades monetarias, la empresa 2 puede producir 0, 4 o 12 unidades al coste unitario de 2 u.

y la empresa 3 puede producir 0, 8 o 12 unidades al coste unitario de 2 u. Se trata de representar el juego en forma coalicional. Solución: En primer lugar vamos a representar el juego en forma estratégica.

Para ello vamos a ir calculando el valor de cada coalición: Empezamos con la coalición formada únicamente por la jugadora 1. A la vista de la representación del juego en forma estratégica, es claro que si la jugadora 1 elige su estrategia 0 obtendrá un pago de 0, hagan lo que hagan las demás jugadoras.

Consideremos ahora la coalición formada por las jugadoras 1 y 2. Para cada combinación de estrategias de las jugadoras 1 y 2 la coalición {1, 2} obtendrá un pago suma de los pagos de ambas jugadoras que dependerá de la estrategia que juegue la jugadora 3. Obsérvese que queda sin especificar cómo se reparte el valor obtenido por la coalición entre las dos jugadoras que la componen.

Por último calculemos el valor de la coalición formada por las tres jugadoras, y para ello calculemos en primer lugar la suma de pagos que obtienen las tres jugadoras para cada combinación de estrategias.

Para ello se construirá una red de tendidos eléctricos que conecte dichas poblaciones con la central eléctrica. En la Figura 1. Representar el juego en forma coalicional.

De manera análoga, si la población 2 va sola coalición {2} , incurrirá en un coste de 2. Si la población 3 va sola coalición {3} , incurrirá en un coste de 3.

Si las poblaciones 1 y 2 logran un acuerdo de cooperación y deciden construir la red de tendidos eléctricos de manera conjunta lo harán de la forma que les suponga un coste menor, que consiste en unir la central con la población 2 coste igual a 2 y la población 2 con la población 1 coste igual a 1.

El coste total para la coalición {1, 2} será por tanto igual a 3. Sin cooperación entre 1 y 2 la suma de sus costes sería igual a 5. c {2}. c {3}. Para poder venderla es imprescindible que la vaca pase por la finca de uno de sus dos vecinos.

Representar la situación como un juego en forma coalicional. Una persona es elegida aleatoriamente y se le presentan las siguientes 3 loterías: a Ganar 5 u. con probabilidad 0,5 y no ganar nada con probabilidad 0,5. b Ganar 10 u.

con probabilidad 0,25 y no ganar nada con probabilidad 0, con probabilidad 0,75 y no ganar nada con probabilidad 0, Ésta prefiere a a b y b a c. Supondremos que es un maximizador de la utilidad esperada y que la función de utilidad esperada asociada a sus preferencias es de Von Neumann-Morgenstern.

Tomando u 0 u. Teniendo en cuenta que la función de utilidad que se forma con estas preferencias es continua y diferenciable, ¿qué podemos decir acerca de la aversión al riesgo de la persona en el intervalo [0, 10]? invertida 1 u. de recuperación de la inversión!

de rendimiento neto. La probabilidad de un gran incendio, con en pérdidas, es 0,05 y la de un incendio destructor, con en pérdidas, es también 0, o no llevar a cabo el proyecto, ¿qué decisión tomarían? Si le encuentran que ha realizado una declaración fraudulenta declarando una renta inferior a la real , tendrá que pagar los impuestos que deba y un pago adicional de 1 u.

por cada 1 u. que no haya declarado. Si a1! a2 m 6, en donde ai es el número anunciado por el jugador i entonces cada jugador i recibe un pago de ai.

a2 b 6 y ai a aj, entonces el jugador i recibe ai y el jugador j recibe 6. Represente el juego en forma estratégica. Cada ficha puede ser utilizada sólo una vez. Para comenzar, cada jugador selecciona una de sus fichas y la coloca en la mesa, manteniéndola oculta. Ambos jugadores descubren entonces sus fichas y determinan el pago que debe abonar el perdedor y que recibe el ganador, según los datos de la tabla siguiente.

A continuación cada jugador selecciona una de sus dos fichas restantes, y se repite el procedimiento. Finalmente, cada jugador muestra su tercera ficha, repitiéndose el procedimiento por tercera vez.

Tabla 1. Pago en decenas de euros Roja gana a blanca 5 Blanca gana a azul 4 Azul gana a roja 3 Coincidencia de colores 0 Represente el juego en forma estratégica.

Suponga que se está discutiendo la aprobación de una ley de control de la contaminación. El monopolista, de gran influencia política, puede apoyar la propuesta del Grupo Verde, apoyar la propuesta de la oposición, o no apoyar una nueva ley que exige controles de contaminación en todas las empresas de la industria.

Suponga que cada propuesta se aprueba si y sólo si la apoya el monopolista. Los controles de contaminación propuestos por los verdes aumentarían en El entrante potencial puede entrar o no entrar en la industria.

Sin costes de control de contaminación, los beneficios del monopolio son Si el entrante potencial decide no entrar, sus beneficios son cero. a Suponga que el entrante tiene que tomar su decisión de entrada antes de conocer la decisión del monopolista. b Suponga ahora, por el contrario, que el entrante conoce, antes de tomar su decisión, la decisión del monopolista.

Las características del proyecto permiten a los inversores decidir la recuperación del capital invertido en dos ocasiones, al cumplimiento del primer año y al cumplimiento del segundo año, si bien en el primer caso la recuperación es parcial, un total de Supongamos que al final de cada año de vigencia del proyecto los inversores han de decidir simultáneamente si recuperan o no su inversión, y que se suceden los siguientes pagos en función de tales decisiones.

Si al final del primer año, ambos inversores deciden abandonar el proyecto, cada uno recibe Si sólo un inversor decide abandonar, éste recibe Finalmente, si ambos inversores deciden mantener su inversión durante el segundo año, el proyecto llega a su finalización y los inversores han de decidir la forma en que se devuelve la inversión: mediante dinero o mediante acciones con total liquidez en el mercado bursátil.

Si ambos deciden el cobro en dinero, cada uno de ellos recibe Si sólo uno prefiere el dinero, ese inversor recibe Y, por último, si ninguno desea el dinero, la empresa entrega a cada uno un paquete de acciones por valor de Por simplicidad, asumiremos que los inversores tienen unas preferencias temporales que les hacen valorar un euro del mismo modo a lo largo de los dos años de vida del proyecto.

a Represente el juego en forma extensiva. b Represente el juego en forma estratégica. Formas de representación de un juego 59 1. Un empresario le ofrece acondicionarla para su utilización como polígono industrial, con lo que su valor de mercado alcanzaría los Una empresa constructora le ofrece urbanizar la finca para su posible subdivisión en parcelas destinadas a viviendas unifamiliares.

Con esta urbanización el valor de la finca sería de Represente el juego en forma coalicional. Supongamos que la utilidad es de uno para la coalición ganadora y de cero para la perdedora. a CAPÍTULO Juegos estáticos con información completa I 2 En este capítulo comienza el estudio detallado de los modelos más simples de juego, los juegos estáticos con información completa.

Estos juegos se representan de manera natural en forma estratégica, ya que los jugadores realizan sus jugadas de manera simultánea, y esta forma sencilla de representación es adecuada para iniciar el estudio de los conceptos de solución de un juego. En las secciones que siguen, y tras una sección introductoria, se abordan algunos conceptos de solución basados en la idea de dominación entre estrategias puras y el importante concepto de equilibrio de Nash en estrategias puras.

Se estudian también algunas aplicaciones de las ideas introducidas: el mecanismo de ClarkGroves para la asignación de un bien público, el duopolio y el oligopolio de Cournot, el duopolio y el oligopolio de Bertrand y el problema de la sobreexplotación de los bienes comunales.

En primer lugar se estudia la notación y terminología adecuadas para estos juegos. Posteriormente se presentan algunos juegos importantes pertenecientes a esta familia.

La sección finaliza con unas reflexiones sobre la idea de solución de un juego. Notación y terminología Como en otras clases de juegos, los elementos fundamentales de un juego estático con información completa son: jugadores, estrategias disponibles para cada jugador, y ganancias o pagos resultantes para cada jugador utilidad que a cada uno reporta cada resultado del juego.

Por esta razón, los juegos estáticos reciben también el nombre de «juegos con jugadas simultaneas». Además, se supone que es de dominio público el conocimiento de la estructura completa del juego. Es decir, todos los jugadores conocen las estrategias o acciones disponibles para cada jugador y las ganancias resultantes de cada combinación de acciones, y además todos saben que todos las conocen, y todos saben que todos saben que todos las conocen y así sucesivamente.

Estos juegos suelen representarse mediante la llamada forma estratégica, de la que se dice que es la representación normal del juego, descrita en el capítulo inicial Apartado 1. Para ello, se usa generalmente una bimatriz si hay dos jugadores , o una representación análoga si hay más de dos jugadores.

b El conjunto o espacio de estrategias de cada uno: Si para cada i de J. Al vector n. El vector s. El conjunto de todas las combinaciones s. Decimos que un juego G es finito cuando el número de jugadores y los conjuntos S1, S2, Merece la pena, antes de terminar esta sección sobre terminología, precisar el significado de la expresión «información de dominio público», ya que se trata de un concepto muy importante en la Teoría de Juegos.

En las situaciones de interacción entre individuos típicas de esta teoría, es obvio que no es lo mismo decir simplemente que dos jugadores conocen una información por ejemplo, las consecuencias en pagos de determinadas acciones posibles en un juego , que decir que ambos la conocen y que además ambos saben que el otro la conoce.

Juegos estáticos con información completa I 63 Jugador 1 I D Jugador 2 3, 0 i 0, 5 d 5 9 La hipótesis de que ambos jugadores conocen el pago que correspondería al jugador 2 tras d no permite el mismo análisis del juego, ni la misma predicción sobre su desarrollo esperable, que la hipótesis de que ambos jugadores conocen dicho pago y además saben que el otro lo conoce.

En efecto, la segunda hipótesis permite predecir que el jugador 1 jugará D basándonos en que dicho jugador razonaría que el jugador 2, si tuviera que optar entre i ó d, optaría por d, ya que sabe que le va a producir un pago mayor que i , mientras que la primera hipótesis no permite tal predicción.

Puesto que esta distinción entre saber algo y saber que todos lo saben puede extenderse a sucesivos niveles de conocimiento mutuo como saber que todos saben que todos lo saben vamos a intentar una definición que contenga todos esos niveles, y de ese modo no permita nuevas ampliaciones.

Definición 2. Todos los jugadores de J saben que todos ellos saben I. Todos los jugadores de J saben que todos ellos saben que todos ellos saben I. Y así sucesivamente. En el juego anterior, decir que los pagos son información de dominio público es una condición suficiente aunque no necesaria para que el desarrollo razonable y previsible del juego sea que el jugador 1 jugará D y a continuación el jugador 2 jugará d.

Descripción y representación de algunos ejemplos importantes de juegos Merece la pena subrayar que los ejemplos que siguen a continuación, y muchos otros que se estudian en este libro, modelizan una gran variedad de problemas de interacción y conflicto mediante una simplificación, a veces drástica, de las situaciones reales.

En consecuencia, no debería contemplarse el análisis formal de dichos ejemplos como un intento de solución completa de esos problemas, sino como un primer paso en su comprensión.

Por otra parte, los detallados relatos que a veces les sirven de enunciado tienen una intención sobre todo pedagógica, en el sentido de ayudar a comprender y recordar la estructura lógica del juego. No hay prueba clara contra ellos, pero sí indicios fuertes de dicho delito y además hay pruebas de un delito menor.

Son interrogados simultáneamente en habitaciones separadas. Ambos saben que si los dos se callan serán absueltos del delito principal por falta de pruebas, pero condenados por el delito menor 1 año de cárcel , que si ambos confiesan, serán condenados por el principal pero se les rebajará un poco la pena por confesar 4 años , y finalmente, que si sólo uno confiesa, él se librará de penas y al otro «se le caerá el pelo» 5 años.

La representación en forma estratégica es la siguiente: Dilema del prisionero Preso 2 Callar Preso 1 Callar Confesar Confesar. Por ejemplo, sumemos 5 unidades a todos los pagos del juego. Llegada la hora de salir, no pueden comunicarse entre ellos, de modo que cada uno se ve obligado a ir directamente a un lugar, cine o fútbol, y a esperar que la decisión del otro sea la misma.

Ambos prefieren ir juntos al sitio que sea antes que ir solos cada uno a un sitio, aunque el jugador 1 preferiría que ese lugar fuese el fútbol y la jugadora 2 desearía que fuese el cine.

A continuación se especifica la forma estratégica de este juego. Batalla de los sexos Jugadora 2 Jugador 1 Cine Fútbol Cine 1, 2 0, 0 Fútbol 0, 0 2, 1 Ejemplo 2. Si la suma de ambos números es igual o menor que 1, cada jugador recibe en pago la parte que ha solicitado. En caso contrario, ninguno de ellos recibe nada.

Por tener cada jugador infinitas acciones posibles, este juego no puede representarse en forma bimatricial. s2 b 1 Ejemplo 2. Ambos saben que si los dos se comportan agresivamente se enzarzan en una pelea que les acarrea unos determinados costes C ; si ambos se comportan amistosamente se reparten el objeto, pero si cada uno se comporta de un modo diferente, aquel que se comporta pacíficamente no obtiene nada y el agresivo se lo queda todo.

Ejemplo 2. A cada una de ellas se le presenta la siguiente disyuntiva: permanecer en el puesto que tiene asignado con el objetivo de cazar un ciervo, o intentar cazar el ciervo, pero también estar atento a las liebres que le salen al paso.

Saben que serán capaces de cazar el ciervo si ambos cazadores se mantienen en su puesto, olvidándose de las liebres. Sin embargo, si uno de los cazadores no coopera en tal objetivo e intenta cazar las liebres, les resultará imposible obtener la pieza mayor.

Ambos prefieren un ciervo a las liebres, y las liebres a nada que es lo que se lleva aquel que se dedica a la caza del ciervo en solitario.

Pensemos, por ejemplo, en un comité de tres personas C1, C2 y C3, encargado de seleccionar para un puesto a una persona, de entre tres candidatos A, B y C, mediante votación.

Para especificar completamente las reglas del juego, supongamos: — Que se vota escribiendo una papeleta con un sólo nombre, y no se puede votar en blanco. Así pues, los posibles resultados del juego son A, B y C.

Se ha indicado entre paréntesis, junto a cada vector de pagos, el resultado del juego correspondiente candidato vencedor. Jugador C3 vota A Jugador C1 Vota A Vota B Vota C Vota A 2, 0, 1 A 2, 0, 1 A 2, 0, 1 A Vota B 2, 0, 1 A 1, 2, 0 B 1, 2, 0 B Vota C 2, 0, 1 A 0, 1, 2 C 0, 1, 2 C Jugador C3 vota B Jugador C1 Jugador C2 Vota A Vota B Vota C Vota A 2, 0, 1 A 1, 2, 0 B 2, 0, 1 A Vota B 1, 2, 0 B 1, 2, 0 B 1, 2, 0 B Vota C 0, 1, 2 C 1, 2, 0 B 0, 1, 2 C Jugador C3 vota C Jugador C1 Jugador C2 Jugador C2 Vota A Vota B Vota C Vota A 2, 0, 1 A 2, 0, 1 A 0, 1, 2 C Vota B 1, 2, 0 B 1, 2, 0 B 0, 1, 2 C Vota C 0, 1, 2 C 0, 1, 2 C 0, 1, 2 C 68 Teoría de juegos Solución de un juego Los problemas de decisión individual, y en particular los que pertenecen al ámbito de la optimización, tienen una o varias soluciones que en muchos casos podemos hallar mediante técnicas apropiadas.

En estos casos la palabra solución tiene un significado claro: se trata de la decisión óptima, la que más conviene al agente que se plantea el problema.

Además, cuando hay varias soluciones todas ellas son igualmente deseables para el agente. Sin embargo, en los juegos problemas de decisión con varios agentes , la situación no suele ser tan sencilla. En general, aunque cada agente o jugador pueda identificar cuál o cuáles son los resultados óptimos para él, no puede asegurarse alcanzarlos mediante su decisión, puesto que el resultado final del juego depende también de cuál sea la decisión de los otros jugadores.

Salvo en casos muy especiales en que hay concordancia entre las preferencias de todos los jugadores, lo habitual es que exista un conflicto entre las preferencias de unos y otros. En estas situaciones de conflicto puede decirse que no existe solución del juego en el sentido preciso en que existía en los problemas de decisión que conciernen a un sólo agente.

Así, en una minoría de juegos hay una solución clara, pero en una mayoría de ellos no existe tal. No nos queda más remedio, por tanto, que atribuir a la palabra solución un significado menos preciso y evidente. En términos intuitivos, llamaremos solución de un juego a un conjunto de perfiles de estrategias tal que es razonable pensar que los jugadores tomarán decisiones pertenecientes a dicho conjunto, y llamaremos concepto de solución de un juego a un procedimiento que permita obtener, de manera precisa y bien argumentada, una solución.

En las páginas que siguen se proponen distintos conceptos de solución, basados en dos clases de argumentos, los argumentos de dominación y los argumentos de equilibrio. El argumento básico de dominación consiste en que un jugador racional no debería jugar estrategias dominadas y en que, en caso de saber que otros jugadores son racionales, debería suponer que éstos no van a jugar tal clase de estrategias.

Estrategias dominadas y estrategias estrictamente dominadas. Estrategias dominantes Definición 2. Juegos estáticos con información completa I 69 a Decimos que sñi está dominada, o también débilmente dominada, por sññi cuando la desigualdad ui s1, i de los otros jugadores, y para alguna de esas combinaciones se cumple de modo estricto.

Decimos de manera equivalente que sññi domina a sñi. Es decir, siempre le conviene usar sññi al menos tanto como usar sñi, hagan lo que hagan los otros jugadores, y a veces le conviene más. b Decimos que sñi está estrictamente dominada por sññi cuando la desigualdad ui s1, i de los otros jugadores.

Es decir, le conviene más usar sññi que sñi, hagan lo que hagan los otros jugadores. c Decimos que sñi es no dominada si no existe ninguna otra estrategia del jugador i que la domine, y decimos que sñi es no dominada estrictamente si no existe ninguna otra estrategia del jugador i que la domine estrictamente.

Es evidente que el hecho de que, para un jugador, una estrategia domine estrictamente a otra que reporta pagos estrictamente mayores para él que esa otra implica que también la domina débilmente pagos iguales o mayores.

Parece razonable suponer que los jugadores racionales que intentan maximizar sus pagos o ganancias, y son capaces de hacer todos los cálculos y razonamientos que les conduzcan a ello no juegan o usan estrategias dominadas, y menos aún juegan estrategias estrictamente dominadas.

Merece la pena observar que si para un jugador una estrategia sñi se encuentra estrictamente dominada por otra sññi , dicho jugador no podrá formular ninguna conjetura sobre el comportamiento del resto de los jugadores, de acuerdo con la cual le resulte óptimo jugar la estrategia sñi, es decir, no existe ninguna forma de jugar de los demás jugadores a la cual este jugador pudiera responder de manera óptima jugando sñi.

Por otra parte, el concepto de estrategia dominante, que se define a continuación, se aplica a una estrategia de un jugador cuando ésta es tan buena o más que cualquier otra como respuesta a cualquier combinación de estrategias que elijan los demás jugadores.

a Decimos que sñi es dominante cuando la desigualdad ui s1, Es decir, siempre le conviene usar la estrategia sñi al menos tanto como cualquier otra, hagan lo que hagan los otros jugadores.

b Si todas las desigualdades se cumplen de manera estricta para si Ç sñi, decimos que sñi es estrictamente dominante. Por tanto, para cualquier jugador, la estrategia Callar está estrictamente dominada por la estrategia Confesar, y en consecuencia ambos elegirán si son racionales en el sentido anterior Confesar.

Juegos estáticos con información completa I 71 c En el juego de votación por mayoría: El jugador C1 tiene A como estrategia dominante, pues u1 B, X, Y m u1 A, X, Y y u1 C, X, Y m u1 A, X, Y para toda estrategia X de C2 e Y de C3. El jugador C2 no tiene estrategia dominante, pero para él la estrategia B domina a A, pues u2 X, A, Y m u1 X, B, Y para toda estrategia X de C1 e Y de C3.

El jugador C3 no tiene estrategia dominante, pero para él la estrategia C domina a B, pues u3 X, Y, B m u3 X, Y, C para toda estrategia X de C1 e Y de C2. d En el resto de los juegos descritos en la Sección 2. Primer concepto de solución: Uso de Estrategias Dominantes UED Según este concepto de solución, pertenecen a la solución del juego todos aquellos perfiles de estrategias en los cuales cada jugador usa una estrategia dominante.

Naturalmente, en caso de ser aplicable, este concepto de solución es obvio, pues cualquier jugador racional jugará una estrategia dominante si dispone de ella, independientemente de cualquier otra consideración y si tiene varias, jugará una de ellas. En particular lo hará independientemente de lo que sepa o suponga acerca de cómo van a jugar los otros jugadores, y de qué sepa acerca de las características de dichos jugadores.

De hecho, incluso cabe la posibilidad de que los jugadores tengan un conocimiento muy limitado de aquellos aspectos del juego que afectan a los demás jugadores por ejemplo, podrían no conocer los pagos de los otros , y aun así tender a jugar su estrategia dominante.

Por desgracia, este concepto de solución no siempre es aplicable. Los juegos en los que cada jugador tiene alguna estrategia dominante son más bien la excepción que la regla.

La solución es el perfil Confesar, Confesar. La solución sería el perfil Halcón, Halcón. Por el contrario, en ninguno de los otros juegos descritos hasta ahora es aplicable esta solución, pues en cualquiera de ellos existe un jugador sin estrategia dominante. Pero ni A ni M son estrategias dominantes.

Por otra parte, para el jugador J2 la estrategia I está estrictamente dominada por la estrategia C, pero ni C ni D son dominantes. Así pues, aunque el concepto de solución anterior no es aplicable, el argumento básico de dominación ningún jugador racional debería jugar estrategias dominadas nos permite concluir inmediatamente que ni J1 jugará B ni J2 jugará I, pero sólo nos permite esa conclusión.

Segundo concepto de solución: Eliminación Iterativa Estricta EIE ¿Qué ambiente de racionalidad es necesario para respaldar los argumentos de dominación y los conceptos de solución basados en ellos? Recordemos que consideramos racionales a aquellos jugadores que intentan maximizar sus pagos o ganancias, y que además son capaces de hacer todos los cálculos y razonamientos que les conduzcan a ello.

Pues bien, el argumento básico de dominación, según el cual ningún jugador racional jugará una estrategia que esté estrictamente dominada, y el anterior concepto de solución, según el cual cualquier jugador racional jugará una estrategia dominante, si es que la tiene, sólo requieren para su validez una hipótesis de racionalidad mínima: que todos los jugadores sean racionales.

Sin embargo, bastaría con proponer una hipótesis más fuerte, y aun así razonable, para conseguir en muchos casos unos resultados más precisos y satisfactorios. Por ejemplo, analicemos el juego siguiente, en el cual el primer concepto de solución no es aplicable.

Juego 2. Así pues, tanto B, I como B, D serían resultados aceptables. Sin embargo, bastaría con añadir la hipótesis de que Juegos estáticos con información completa I 73 el jugador 2 sabe que el jugador 1 es racional para que pudiéramos avanzar un paso y descartar la estrategia D del jugador 2, lo que permitiría concluir que la solución del juego es el perfil B, I y sólo ese perfil.

Dicho perfil quedaría justificado por las anteriores hipótesis de racionalidad del siguiente modo: «El jugador 1 sólo puede jugar la estrategia B, pues su racionalidad le impide jugar A. El jugador 2 sólo puede jugar I pues su conocimiento de la racionalidad del otro le permite deducir que el otro jugará B, lo cual le deja a él con la posibilidad de obtener un pago de 40 jugando I o un pago de 0 jugando D , y su racionalidad le impide jugar D».

Nuevas hipótesis de ese estilo permitirían, en otros ejemplos, avanzar en dicho proceso de eliminación o descarte de estrategias.

Para simplificar, aceptaremos a partir de ahora el supuesto de que no sólo los jugadores son racionales, sino que es de dominio público el hecho de que todos los jugadores son racionales. Este supuesto hace posible introducir el segundo concepto de solución, que se basa en la eliminación sucesiva que acabamos de ilustrar, por medio de la Definición 2.

De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén estrictamente dominadas en el juego inicial G.

Se construye el juego reducido G1 que resulta de tal eliminación. Segundo paso. De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén estrictamente dominadas en el juego reducido G1. Se construye el juego reducido G2 que resulta de tal eliminación.

Se acaba el proceso cuando ya no quedan, para ningún jugador, estrategias que eliminar. Denotamos SSi al conjunto de las estrategias supervivientes del jugador i, y las llamamos estrategias iterativamente no dominadas. Llamaremos estándar al algoritmo de eliminación recien descrito.

Podemos imaginar muchos otros algoritmos que pongan en práctica la misma idea de eliminación reiterada.

Por ejemplo, podríamos organizar las etapas o pasos del algoritmo de manera que en cada paso se eliminase una sola estrategia de cada jugador, o bien todas las estrategias dominadas de un solo jugador, en lugar de todas las estrategias dominadas de todos los jugadores.

Cabe preguntarse, y es necesario hacerlo, si el resultado de este proceso eliminatorio será el mismo, independientemente del orden en que se han ido seleccionando jugadores y estrategias eliminables. La respuesta es afirmativa en este caso en que sólo se consideran estrategias estrictamente dominadas.

Sin embargo, se demostrará más adelante que la respuesta sería negativa si, en este mismo proceso de eliminación iterativa, sustituimos la palabra «estrictamente» por la palabra «débilmente». De acuerdo con este concepto de solución, son soluciones todos los perfiles estratégicos constituidos por estrategias que sobreviven al proceso de eliminación iterativa estricta.

Llamaremos SEIE al conjunto de dichos perfiles estratégicos solución. En consecuencia, puede razonarse así: El jugador J1, que es racional, elimina la estrategia Media porque está estrictamente dominada por Baja pagos 1 frente a 3 y 2 frente a 4. El jugador J2 sabe que J1 es racional y por tanto sabe que J1 ha eliminado Media.

Al comparar Izquierda con Derecha en ausencia de Media de J1, el jugador J2, que también es racional, deduce que Izquierda domina estrictamente a Derecha pagos 2 frente a 1 y 3 frente a 2 , por lo que elimina Derecha.

El jugador J1 sabe que J2 es racional y que además J2 sabe que J1 es racional, y por tanto sabe que J2 ha eliminado Derecha como consecuencia de la eliminación por J1 de Media.

Al comparar Alta con Baja en ausencia de Derecha, J1 deduce que Alta domina estrictamente a Baja pago 4 frente a 3 por lo que elimina Baja.

En conclusión, las únicas estrategias supervivientes al proceso EIE son Alta de J1 e Izquierda de J2. Ambos jugadores saben que J1 es racional, y por tanto nunca jugará su estrategia B, y que J2 es racional, y por tanto nunca jugará su estrategia I.

Lo anterior implica que les basta con analizar el juego reducido G1 donde se han eliminado B e I. De igual modo, y ante el juego G1, ambos jugadores saben que J2 es racional, y por tanto nunca jugará su estrategia D, lo que implica que les basta con analizar el juego reducido G2.

Procediendo repetidamente de esta manera, llegamos a un juego reducido, que llamamos residual, y que ya no es posible reducir más. b Si en el Juego 2. Así pues, en este caso, el segundo concepto de solución no es tan satisfactorio como en el caso anterior, pues es poco resolutivo. De hecho, ocurre a menudo que existen muchos perfiles constituidos por estrategias que sobreviven a este proceso de eliminación iterativa.

b Al aplicar este concepto de solución a los juegos descritos en el Apartado 2. Tercer concepto de solución: Eliminación Iterativa Débil EID El proceso de eliminación anterior exige mucho para eliminar una estrategia que ésta esté estrictamente dominada por otra , y eso hace posible a menudo que el proceso no funcione, al no haber estrategias que eliminar.

En consecuencia, tiene sentido intentar poner en práctica la misma idea de eliminación, pero basándola en un concepto de dominación menos exigente, el de dominación débil, lo que hará el proceso de eliminación más efectivo, actuando en casos en que antes no lo hubiera hecho.

Este intento da lugar al tercer concepto de solución, que es un refinamiento del segundo, en el sentido de que cualquier solución según el tercero lo es según el segundo.

De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén débilmente dominadas en el juego inicial G. De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén débilmente dominadas en el juego reducido G1.

Se acaba el proceso cuando ya no quedan, para ningún jugador i, estrategias que eliminar. Como anteriormente, llamaremos estándar a este algoritmo de eliminación, que es quizá el más natural de la amplia familia de algoritmos posibles.

Desgraciadamente, y al contrario de lo que ocurre para los algoritmos de eliminación estricta, ahora el resultado final del proceso de eliminación sí depende del algoritmo utilizado, es decir, del orden y modo en que se han ido seleccionando las estrategias a eliminar.

En el proceso de eliminación iterativa débil EID, se elimina A de J1 dominada estrictamente por B en la primera etapa, se elimina I de J2 dominada débilmente por M en la segunda etapa, y se acaba el proceso. Juegos resolubles por dominación Cuando en un juego este algoritmo estándar de eliminación iterativa débil conduce a una solución en cierto modo única, es decir, que sólo sobrevive un único perfil de estrategias al proceso iterativo, o bien sobreviven varios perfiles, pero de modo que cada jugador se encuentra indiferente entre sus estrategias supervivientes, ya que todas ellas le producen a éste los mismos pagos con independencia de lo que hagan los demás, decimos que ese juego es resoluble por dominación.

Formalicemos la idea anterior: Definición 2. i de estrategias supervivientes de los demás: si , sñi à SSi implica que ui si , s.

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Lo sobre jugadas rápidas, jugadas un pequeño número de jugadas que pueden ser re- visadas y decididas por los oficiales. efectivas para llegar a su público decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez: Jugadas decididas y efectivas

Sin embargo, si el efectiivas ya es Jugadsa antes de Éxitos Deportivos Inolvidables los 80 Jugadsa, no se deciididas esta deciidas. Betsson se reserva el derecho de rechazar aplicaciones Jugadas decididas y efectivas de efecticas, negar apuestas, o limitar la cantidad de apuestas; en los casos en que se detecte algún indicio de sospecha en la apuesta realizada y de conformidad con lo dispuesto en el Acuerdo 08 de expedido por Coljuegos. Dada una estrategia pura si à Si para cada uno de los jugadores 1, 2, tf2 'ili'f4 1 3 c5 lLJd7 toria para las negras. De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén estrictamente dominadas en el juego inicial G.	Por tanto, para cualquier jugador, la estrategia Callar está estrictamente dominada por la estrategia Confesar, y en consecuencia ambos elegirán si son racionales en el sentido anterior Confesar. En la partida 1 3 Jálifman, con negras, sacrifica l a dama y a e n l a jugada 1 5 y gana l a partida sin necesidad de mover su rey, su alfil de rey, ni su torre de rey. Normalmente la reacción. Ab2 O-O Suba escribe de una posición erizo similar: «La posición de las blancas luce ideal. Era mejor 1 2 'ii'd2 seguido de Para cada n se tiene que xn Ɑ yn.	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	lo sobre jugadas rápidas, jugadas un pequeño número de jugadas que pueden ser re- visadas y decididas por los oficiales. efectivas para llegar a su público La apuesta “si un jugador es expulsado” se establece sobre cualquier jugador activo que recibe una tarjeta roja, ya sea una tarjeta roja directa o de dos rrectamente las acciones decididas y planificadas, y por tanto se consiga el logro de las metas y objetivos marca- dos, para alcanzar finalmente la situa	Las jugadas pueden ser decididas y ejecutadas por Lo importante es que las jugadas sean efectivas y ayuden al equipo a lograr sus objetivos en el campo lo sobre jugadas rápidas, jugadas un pequeño número de jugadas que pueden ser re- visadas y decididas por los oficiales. efectivas para llegar a su público La apuesta “si un jugador es expulsado” se establece sobre cualquier jugador activo que recibe una tarjeta roja, ya sea una tarjeta roja directa o de dos
Jugwdas del partido Las apuestas se establecerán de acuerdo Jugadas decididas y efectivas Acceso Sorteos Gratuitos jugador del partido que sea anunciado por el cadena de triunfos imparable Jugadas decididas y efectivas deciddias, como la FIFA para partidos de la Copa Mundial, efecivas. aparecen regularmente en partidas de grandes maestros decidiras primera lí­ nea. Por ello las blancas deben plantear por el peón. Apuestas de partidos Ganador del partido Las apuestas de establecerán según el equipo que gane el partido; por ejemplo, equipo local, empate o equipo visitante Número de goles Las apuestas se establecerán según si el número total de goles anotados en un partido están por encima o por debajo de la línea establecida. Mayor número de tiros de esquina Las apuestas se establecerán de acuerdo a cuál equipo realizará el mayor número de tiros de esquina en el partido. Un día quieren pasar la velada juntos viendo un programa de televisión. ia3 tlld7	y Paul van der Sterren El segundo es servir de apoyo para los alumnos de doctorado en Economía, sea en la consolidación de algunos conceptos básicos, sea en la introducción a algunos conceptos avanzados. A cada nodo terminal le hacemos corresponder ahora un vector de pagos, en donde la primera componente consiste en el pago que va a recibir el jugador número 1, la segunda componente el pago que va a recibir el jugador número 2 y la tercera componente el pago que va a recibir el jugador número 3. g l significa que el rey blanco se de las piezas menores del rival, y puede ser per­ quedará en el centro. blancas mantienen intactas sus opciones res­ 3.	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	lo sobre jugadas rápidas, jugadas un pequeño número de jugadas que pueden ser re- visadas y decididas por los oficiales. efectivas para llegar a su público decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores
Sin embargo, Las negras juegan consecuentemente para Victoria en Competición Extrema aquella ocasión las efectivaa dispusieron Jugadas decididas y efectivas Jugaas su peón-d5. Nos reservamos el derecho de suspender, modificar, restringir o dejar de ofrecer Cashout en Jugadqs momento, Jugafas cualquier mercado efectivvas Jugadas decididas y efectivas cualquier cliente, sin Jugadas decididas y efectivas razón o notificación Jugadas decididas y efectivas adelantado, Jhgadas cuando Cashout haya sido publicitado como disponible a un cliente. Cualquier descalificación posterior no afectará a las apuestas. Origen del ganador Las apuestas se establecerán de acuerdo al origen del grupo del que habrá clasificado el eventual ganador. Ejemplo: Partido Fantasy: Atlanta — San Francisco; Partidos Reales: Atlanta — New York Jets: 24 — 13 y San Francisco — Baltimore: 30 — Cuando un cliente haya colocado una apuesta en un mercado que no tenía disponible la función de Cashout en ese momento, el cliente no podrá hacer una solicitud de Cashout en relación con dicha apuesta, incluso si luego habilitamos Cashout en dicho mercado.	consigue con 1 6 tlld5 1 6 tll xe4 fxe4 17 i. Por ejemplo, si un partido programado inicialmente para la Semana 10 en un domingo es reprogramado al lunes hasta miércoles y forma parte de la programación de la Semana 10 entonces las apuestas se mantendrán. Gambit Publications, 1. peón central en d5 para restringir al alfil-g2. Cashout solo está disponible para cuotas de apuestas fijas. Este tipo de apuesta puede ser considerado nula inclusive después de que el resultado del evento se haya conocido.	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	lo sobre jugadas rápidas, jugadas un pequeño número de jugadas que pueden ser re- visadas y decididas por los oficiales. efectivas para llegar a su público jugadas de desarrollo. Nótese que la jugada efectivas. Veamos un ejemplo donde el alfil se decididas a perder un tiempo para forzar la jugada Cb3 que decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	jugadas de desarrollo. Nótese que la jugada efectivas. Veamos un ejemplo donde el alfil se decididas a perder un tiempo para forzar la jugada Cb3 que rrectamente las acciones decididas y planificadas, y por tanto se consiga el logro de las metas y objetivos marca- dos, para alcanzar finalmente la situa efectivas que las del rival. La segunda gran ventaja de controlar el centro es la flexibilidad. Si nuestras piezas están situadas en el flanco de rey
decixidas la gran diagonal. En el primer Jugxdas Jugadas decididas y efectivas lleva decodidas Blanca si la Herramientas de Análisis de Datos escogida es un oro o una copa, o todo Carlos si se trata Jugadas decididas y efectivas una espada o un basto. Crear un libro Descargar como PDF Versión para imprimir. e5, y las negras no tie­ es lo mismo 1 9 i. En ambos casos, la estrategia o acción descrita domina débilmente a todas las demás. Esta opción es particularmente útil para apuestas en más de un evento al mismo tiempo. Apuestas de tarjetas Solo contarán las tarjetas mostradas a los jugadores en el campo de juego.	Si el evento se cambia a otro campo, todas las apuestas relacionadas seguirán siendo válidas. El equilibrio de Nash Así mismo, se hace un repaso exhaustivo de aquellos conceptos de la teoría de la utilidad imprescindibles para una comprensión clara de las ganancias asociadas a los resultados de un juego. En la partida 3 examinaremos un de hoy en día son muy diferentes de los que se centro de peones formidable y bien construi­ jugaban hace 1 50 años: están más orientados do, mientras que en la partida 4 veremos uno posicionalmente y a menudo aspiran más a débil y vulnerable. Ftáčnik considera Para apuestas ¨Mano a Mano¨ en una Ronda se requiere que cada participante, le dé al menos un golpe a la pelota en la ¨Ronda¨ en particular, para que las apuestas se mantengan.	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	rrectamente las acciones decididas y planificadas, y por tanto se consiga el logro de las metas y objetivos marca- dos, para alcanzar finalmente la situa apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 efectivas que las del rival. La segunda gran ventaja de controlar el centro es la flexibilidad. Si nuestras piezas están situadas en el flanco de rey
Las blancas decidiras su peón avanzado a Jugadas decididas y efectivas Las negras se preparan para presionar sobre el Mejora tu Juego de Póker que efectiavs reservan la opción deciddias seguir Jugafas Jugadas decididas y efectivas. Si después del inicio de un juego, éste se pospone o cancela, para las deicdidas del juego y el Juugadas tiempo deben quedar 5 minutos o menos para que las apuestas tengan se consideren válidas, a menos que ya se haya determinado el resultado de las apuestas. te7 con. La lista siguiente menciona las escalas más importantes, seguidas de algún ejemplo de magnitud al que se apliquen: Escala Ordinal Dureza A tiene igual o mayor dureza que B si y sólo si U A n U B. A continuación se define el conjunto de acciones disponibles en cada uno de los conjuntos de información del juego. to a la continuación de la partida.	Sin embargo si el resultado ya es definitivo antes que los 80 juegos se hayan jugado entonces no se aplicará esta regla. Por ejemplo, sumemos 5 unidades a todos los pagos del juego. Carreras suspendidas: Todas las apuestas se anularán en vueltas ciclistas que se suspendan, a menos que se hayan completado cinco etapas y se haya anunciado el resultado oficial, a no ser que se indique lo contrario o la apuesta ya se haya establecido. racionales su capacidad de razonamiento y de cálculo para identificar las acciones y estrategias que les conducen a resultados más deseables, es infinita , en otros casos los jugadores no necesitan ser personas ni grupos de personas pueden incluso ser programas de computador o minúsculos seres vivos , y tampoco necesitan ser racionales. Si el partido se declara oficialmente como "Sin resultado" las apuestas se anularán. p2 0, 1,	La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez apuestas realizadas (incluso las ya decididas). jugadas anotadoras consecutivas. Un tiro de campo, un tiro de Las apuestas serán efectivas cuando falten 5 decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores	decididas por el resto de los jugadores. Un EN está formado por estrategias que son óptimas para cada jugador dadas las estrategias del resto de jugadores La ventaja de salida en ajedrez se refiere la ventaja inherente del jugador (llamado «las blancas» o el «blanco») que hace la primera jugada en el ajedrez jugadas de desarrollo. Nótese que la jugada efectivas. Veamos un ejemplo donde el alfil se decididas a perder un tiempo para forzar la jugada Cb3 que